启航李永乐点评09考研数学：代数考题明显容易

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0 发表于: 2009-04-22

主持人：各位网友大家好，欢迎大家继续收看搜狐、启航2009年硕士研究生入学考试报道专题。我们今天邀请了启航数学辅导名师李老师做客我们的演播室。李老师您好！

　　李老师：大家好！

　　主持人：李老师我们大家都知道您一直在从事数学方面的研究工作，今年的数学试题已经测试结束了，那么您觉得今年的数学试题与往年相比有些什么样的变化和特点，在总体上是如何的，您给我们具体的介绍一下可以吗？

　　李老师：好的。今天下午我看了一下考题，也把线性代数的考题做了一下，总体上我觉得今年的代数的考题和08年来比应当总体上明显的要容易一些，为什么我说它要容易一些呢，因为去年代数题证明题的比重太大了，因为代数有数一、数二、数三各有五道题，两个选择，一个填空，两个解答题。两个解答题是22分，去年两道解答题里面有16-17分都是证明，这一部在08年的考试中是很不理想的，大家如果看到考试中心公布的数据，像08年数一的两道代数题的得分率大概是0.35和0.30，数二和数三两道代数题的得分率大概是0.23。这个得分率很低，说明同学在代数的证明题上是发怵的，那么今年代数考的这五道题，可以说这两道解答题实际上把证明题给回避了，表面上有一道题的一问是要证明、、线性无关，但是这道考题的、、大家是知道它们的坐标的，既然知道坐标要大家证无关，实际上就是要大家算行列式，把行列式不得0看出来实际上就出来了。所以从这个角度上来讲我觉得今年的代数的考题和08年相比应该要容易一些，这是我的第一个感受。第二个感受就是从代数的几道题来看，我想应该说考的非常全面。代数考纲里面一共有六章，现在这五道题把这六章的知识点全给覆盖了，章章都有考题，题目难度不算太大，但是比较灵活，有一定的综合性，我想这应该是今年试题的第二个特点。第三个特点就是从今年的这五道代数题来看，我想总体的计算量不是特别大，如果大家把很多基本的东西把握住了，有很多东西还是有很多窍门，大家可以比较简洁的把它给算出来。所以像今年的代数题如果同学复习得好的话，我想大家做起来应该不会有特别大的困难，从这个方面来讲我觉得今年大家的分数应该会比08年要高一些。因为现在代数的考试大纲实际上是一样的数一、数二、数三实际上是一样的。就是数一多了一个向量空间的知识点，其他的考点都是一样的。今年代数五道考题出题的情况是这样的：两道解答题数一、数二、数三完全一样，前面三道小题，现在有一道小题也完全是一样的。数二和数三有一道小题是一样的，数二和数三五道题里面有四道是完全一样的，也就是稍微变了一点，就是出题方法略微变了一点，但考察的知识点还是一样的。因为老是有同学问到底那个卷宗考察的难一些，我想从最近这三年的情况来看，代数的考题几乎一样，代数很难说谁比谁难，大体上都是一个档次。我想同学考完了，也许会有些同学会比较关心每到题的答案是什么，所以我做了一个答案，将会挂在网上供同学参阅。我想代数题很灵活，每一道题都有不同的解法，如果你的做法和我的不一样，只要你的符合原理，我想都是正确的。下面我想稍微讲解一道大家共同关注的考题，今年考的一个分块矩阵的一个伴随矩阵，伴随矩阵在代数里面一直是一个比较重要的知识点，今年这道考题是一道选择题给出一个分块矩阵、伴随矩阵，问这个伴随矩阵是哪一个矩阵。我不太清楚咱们同学是怎么做这一道考题的，那么像今年的这道考题，如果大家基本知识要是熟练的话，一眼就能看出来这道题有三个考点。第一个是怎么求伴随矩阵，我想大家应该清除我们要求一个矩阵的伴随矩阵基本的方法有两个：一个就是用定义来求，一个就是用转换。而今年这道考题呢，已知条件里面告诉大家A和B这两个矩阵的行列式不得零，所以A和B这两个矩阵都是可逆矩阵，所以既然是这样这个分块矩阵也就是一个可逆矩阵，要求它的伴随矩阵我想这道题最好的方法就是用转换，大家用什么呢？用伴随矩阵就等于行列式乘上它的幂，所以要求伴随矩阵就时要求行列式和幂，现在这样一来要求行列式就又考到了行列式里面的拉普拉斯展开式，要求幂就涉及到一个分块矩阵的求幂过程。像今年的数一、数二、数三这道共同的选择题，如果大家把握住这样三个知识点怎么求伴随矩阵怎么用拉普拉斯展开式求行列式的值，怎么样用分块矩阵求幂公式，那么这道考正确的答案就非常容易的选出来。再比如说像今年两道解答题是完全一样的，这两道解答题里面有一道题考的是平方，有一道题考的是让大家解三元一次方程组，A 要等于，求，让大家解这个三元一次方程组。那么这个方程组有无穷多个解，大家把这无穷多个解表示出来，确定好自由变量，把方程组的解求出来，然后再解一个方程组 = ，再解这么一个方程组，这个方程组又是有无穷多个解的，大家可以算算这个方程组应该是由两个自由变量的，这样通过解两次方程组就把、都求出来了，那么这是今年这道考题的第一大问。而第二问是要同学来证明、、是无关的，我刚刚前面说了表面上看这道题是个证明题，要大家证明它是无关的，但是因为现在是第二问，大家已经把这两个向量的坐标求出来了，既然已经把坐标求出来了，所以要再来证无关，这个行列式应该怎么运算，表面上看有三个参数，求的时候里面有个参数，求的时候有两个参数，这个行列式非常容易做，一算完以后就可以看出来了这个行列式是个常数，跟这些参数是无关的，这个行列式是不得0的。今年这道题出题的方法是比较新颖的，但是解题的思路是基本的。像第二个解答题考的是二次型的题目，这个题目也有一些出题新颖的地方，第一问我想就是一个大问惑，让大家求的就是矩阵A的可能值。这道考题A的特征值求出来之后，大家可以看看实际上和前些年老的数四有一道考题实际上是类似，求出特征值之后带上参数a，这实际上是老的数四一道考题略微修改以后出来的这么一个结果，那么第二问就是要大家判断a的取值，给的是二次型的规范解，着个第二问实际上就是考察同学你对二次型的概念是不是很理解，什么叫规范型，规范型由什么来决定，规范型大家来想一下实际上是不是说的就是二次型的正惯性指数和负惯性指数，那么今年这道考题告诉大家规范型是 + 就是等于告诉大家这个这个二次型的正关系指数就是2，负关系指数应该等于0。既然是告诉大家这样的结果，那么第一问呢是不是考虑第一问就是要大家求特征值啊，大家是不是已经把特征值求出来了，那么在二次型里面特征值是不是就是标准型的平方项的系数，如果大家把这些联系好了是不是可以马上想到现在三个特征值里面有两个特征值是正的，有一个特征值应当等于0，如果大家想到了这个，那么a的取值是不是可以马上求出来了，所以从今年的这两道解答题来看我想思路都是很基本的，都是我们代数里面很基础的内容，解方程组这是代数里面很基本的内容，求特征值这也是代数里面很基本的内容，只不过今年这道求特征值的题目和往年考题的区别在于今年的特征值是带参数a的，而往年大家习惯的求特征值都是具体的数字如3、5……这种考题实际上早年数四就已经考过，求出特征值带上参数，然后你来讨论，实际上这是过去考题的一个翻版，像这两道考题的第二问一个是证无关，一个是判断规范型a的取值，这两个无关是代数里面重要的部分，今年的无关证明题和08年的无关证明题相比是天壤之别，今年这个无关实际上就是大家算个三阶行列式就完了，不像去年是考大家定义法，要大家用定义法来证无关，今年呢给出坐标了，大家一算行列式就看出来无关了，那么规范型我不是太清楚每一位同学是不是都复习到位了，如果规范型这个知识点复习到位了，那么我想第二问是很好做的，所以大家看看今年数一、数二、数三这三道完全一样的代数题，考的东西都是带书里面最核心的内容，最基础的知识，难度应该说不是特别特别大，如果大家复习时已经全面复习了，我相信大家做这几道题应该是比较顺手的，数二和数三有一道选择题我不太清楚这道题大家是不是很习惯，因为今年这道考题要大家处理一个什么矩阵呢，、，那么像这样的矩阵我不太清楚大家原来复习的时候是不是习惯了，这种矩阵大家一定要习惯于把它看成是两个矩阵相乘，前些年这个考点出现过好多次，出现这种矩阵就把它看成是两个矩阵相乘，如果大家习惯这种矩阵，我想数数二、数三的这道选择题大家会马上做出来。今年代数题总的来数考的难度不是特别大，但是每一道题都有一点灵活性，像刚刚网我讲的数二、数三这道题是比较规范，、这个矩阵你会不会把它看成是两个矩阵相乘，你如果会看这道题马上就可以往下做了，紧接着就可以和初等矩阵挂钩，这道题实际上考的是矩阵运算，考的是初等矩阵，从今年代数这五道题的情况来看不知道考完试同学们本身的感受是什么样的，我自己的感觉是今年的题代数部分应该是比08年要容易，因为去年代数两道解答题都是证明，数二、数三是证相关无关，数一是证质的不等式，这个当时就难倒很多同学，再有一个呢，就是证数的行列式等于几，用数学归纳法也好，用递推法也好，08年的两道证明题都是比较困难的，那么今年代数题的难度上总体的难度是降下来了，代数今年考题情况就这么说一说，我相信大家代数这种题应该考的比较好，如果有同学感觉听的不是特别清晰的话可以到网上看看答案，今年的考题就粗略的讲解到这。