四、递归 RN|Bk
'IFA>}e7W
递归是设计和描述算法的一种有力的工具,由于它在复杂算法的描述中被经常采用,为此在进一步介绍其他算法设计方法之前先讨论它。 ycSGv4
)
能采用递归描述的算法通常有这样的特征:为求解规模为N的问题,设法将它分解成规模较小的问题,然后从这些小问题的解方便地构造出大问题的解,并且这些规模较小的问题也能采用同样的分解和综合方法,分解成规模更小的问题,并从这些更小问题的解构造出规模较大问题的解。特别地,当规模N=1时,能直接得解。 Ijap%l1I
【问题】 编写计算斐波那契(Fibonacci)数列的第n项函数fib(n)。 fj/L)i
斐波那契数列为:0、1、1、2、3、……,即: @3$ I
fib(0)=0; %@)R
fib(1)=1; T+aNX/c|>
fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) (当n>1时)。 $gN\%X/n"1
写成递归函数有: 4_ypFuS ^
int fib(int n) [VqiF~o,
{ if (n==0) return 0; yf!7
Q>_G^
if (n==1) return 1; @$!6u0x
if (n>1) return fib(n-1)+fib(n-2); P3-O)m]jv
} o.w/?
递归算法的执行过程分递推和回归两个阶段。在递推阶段,把较复杂的问题(规模为n)的求解推到比原问题简单一些的问题(规模小于n)的求解。例如上例中,求解fib(n),把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是说,为计算fib(n),必须先计算fib(n-1)和fib(n-2),而计算fib(n-1)和fib(n-2),又必须先计算fib(n-3)和fib(n-4)。依次类推,直至计算fib(1)和fib(0),分别能立即得到结果1和0。在递推阶段,必须要有终止递归的情况。例如在函数fib中,当n为1和0的情况。 SP/b4
在回归阶段,当获得最简单情况的解后,逐级返回,依次得到稍复杂问题的解,例如得到fib(1)和fib(0)后,返回得到fib(2)的结果,……,在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的结果后,返回得到fib(n)的结果。 y10W\beJ
在编写递归函数时要注意,函数中的局部变量和参数知识局限于当前调用层,当递推进入“简单问题”层时,原来层次上的参数和局部变量便被隐蔽起来。在一系列“简单问题”层,它们各有自己的参数和局部变量。 [PB73q8
由于递归引起一系列的函数调用,并且可能会有一系列的重复计算,递归算法的执行效率相对较低。当某个递归算法能较方便地转换成递推算法时,通常按递推算法编写程序。例如上例计算斐波那契数列的第n项的函数fib(n)应采用递推算法,即从斐波那契数列的前两项出发,逐次由前两项计算出下一项,直至计算出要求的第n项。 h Ypj
【问题】 组合问题 k=mLcP
问题描述:找出从自然数1、2、……、n中任取r个数的所有组合。例如n=5,r=3的所有组合为: (1)5、4、3 (2)5、4、2 (3)5、4、1 L)&^Pu
(4)5、3、2 (5)5、3、1 (6)5、2、1 Z,/^lg c,
(7)4、3、2 (8)4、3、1 (9)4、2、1 ~cyKPg6
(10)3、2、1 ^#C+l
分析所列的10个组合,可以采用这样的递归思想来考虑求组合函数的算法。设函数为void comb(int m,int k)为找出从自然数1、2、……、m中任取k个数的所有组合。当组合的第一个数字选定时,其后的数字是从余下的m-1个数中取k-1数的组合。这就将求m个数中取k个数的组合问题转化成求m-1个数中取k-1个数的组合问题。设函数引入工作数组a[ ]存放求出的组合的数字,约定函数将确定的k个数字组合的第一个数字放在a[k]中,当一个组合求出后,才将a[ ]中的一个组合输出。第一个数可以是m、m-1、……、k,函数将确定组合的第一个数字放入数组后,有两种可能的选择,因还未去顶组合的其余元素,继续递归去确定;或因已确定了组合的全部元素,输出这个组合。细节见以下程序中的函数comb。 U;TS7A3
【程序】 wN10Drc
# include <stdio.h> SvQ|SKE':
# define MAXN 100 SjpCf8Z(
int a[MAXN]; {[`(o
0@(
void comb(int m,int k) (+;D~iN` k
{ int i,j; !.^x^OK%y
for (i=m;i>=k;i--) \y%"tJ~N{
{ a[k]=i; he/rt#
if (k>1) EpKZ.lCU
comb(i-1,k-1); #d3_7rI0V
else 0^\H$An*k
{ for (j=a[0];j>0;j--) e$P^},0/
printf(“%4d”,a[j]); J%|;
printf(“\n”); AZE%fOG<i
} Y0kcxpK/
} }!k?.(hpE
} H ?9Bo!
s8[(
void main() jA;b2A]G
{ a[0]=3; ezbk@no
comb(5,3); -,YI>!
} DBHHJD/q
【问题】 背包问题 QIU%!9Y
问题描述:有不同价值、不同重量的物品n件,求从这n件物品中选取一部分物品的选择方案,使选中物品的总重量不超过指定的限制重量,但选中物品的价值之和最大。 rqiH!R
设n件物品的重量分别为w0、w1、…、wn-1,物品的价值分别为v0、v1、…、vn-1。采用递归寻找物品的选择方案。设前面已有了多种选择的方案,并保留了其中总价值最大的方案于数组option[ ],该方案的总价值存于变量maxv。当前正在考察新方案,其物品选择情况保存于数组cop[ ]。假定当前方案已考虑了前i-1件物品,现在要考虑第i件物品;当前方案已包含的物品的重量之和为tw;至此,若其余物品都选择是可能的话,本方案能达到的总价值的期望值为tv。算法引入tv是当一旦当前方案的总价值的期望值也小于前面方案的总价值maxv时,继续考察当前方案变成无意义的工作,应终止当前方案,立即去考察下一个方案。因为当方案的总价值不比maxv大时,该方案不会被再考察,这同时保证函数后找到的方案一定会比前面的方案更好。 rp
dv{CUp7
对于第i件物品的选择考虑有两种可能: rPBsr<k#5
(1) 考虑物品i被选择,这种可能性仅当包含它不会超过方案总重量限制时才是可行的。选中后,继续递归去考虑其余物品的选择。 );AtFP0Y
(2) 考虑物品i不被选择,这种可能性仅当不包含物品i也有可能会找到价值更大的方案的情况。 E2dS@!]V
按以上思想写出递归算法如下: lhJY]tQt/
try(物品i,当前选择已达到的重量和,本方案可能达到的总价值tv) t#_6GL
{ /*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/ _Dqi#0#40p
if(包含物品i是可以接受的) Q:7P
/
{ 将物品i包含在当前方案中; V`LE 'E
if (i<n-1) j^8HTa0Cy|
try(i+1,tw+物品i的重量,tv); H)E,([
else g.Qn,l]X/p
/*又一个完整方案,因为它比前面的方案好,以它作为最佳方案*/ 6Iv};f"Y
以当前方案作为临时最佳方案保存; h lc!}{$%8
恢复物品i不包含状态; c^'bf_~-W
} ^ H2TSaJ;
/*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/ X]2Ib'(
if (不包含物品i仅是可男考虑的) ,1B4FAR&
if (i<n-1) S
LeA,T
try(i+1,tw,tv-物品i的价值); -6uLww=w4
else 7VZ ^J`3
/*又一个完整方案,因它比前面的方案好,以它作为最佳方案*/ Z.Z31yF:f
以当前方案作为临时最佳方案保存; U';)]vB$
} [tSv{
为了理解上述算法,特举以下实例。设有4件物品,它们的重量和价值见表: eN|zD?ba&
物品 0 1 2 3 ewN|">WXQ
重量 5 3 2 1 3I)oqS@q'
价值 4 4 3 1 bv(+$YR
0%,W5w
并设限制重量为7。则按以上算法,下图表示找解过程。由图知,一旦找到一个解,算法就进一步找更好的佳。如能判定某个查找分支不会找到更好的解,算法不会在该分支继续查找,而是立即终止该分支,并去考察下一个分支。 YfZ5Q}*1O+
ib
'l:GM
按上述算法编写函数和程序如下: 2-qWR<E
【程序】 42hG}Gt
# include <stdio.h> *y|w9rp
# define N 100 c)N_"#&
double limitW,totV,maxV; U?|A3;,xh
int option[N],cop[N]; !BrZTo
struct { double weight; ;nbEV2Y<
double value; e@vZg8Ie
}a[N]; |}e"6e%
int n; uEr.LCAS
void find(int i,double tw,double tv) ~H?v L c;>
{ int k; #P z'-lo
/*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/ %La/E#
if (tw+a.weight<=limitW) `|"o\Bg<
{ cop=1; /Us+>vg!
if (i<n-1) find(i+1,tw+a.weight,tv); dc~vQDNw[X
else (QqeMG,Y
{ for (k=0;k<n;k++) J0e^v
option[k]=cop[k]; :N^B54o%6
maxv=tv; s"nntC
} @>~S$nw/
cop=0; UHi^7jQ
} P|?nx"c
/*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/ E=S_1
if (tv-a.value>maxV) sA: /!9
if (i<n-1) find(i+1,tw,tv-a.value); i=>`=. ~
else pp*MHM)x|q
{ for (k=0;k<n;k++) ? N]bFW"t|
option[k]=cop[k]; A>F&b1
maxv=tv-a.value; X"g,QqDD
} :4X,5X7tW=
} wRwx((eb
veh=^K%G |
void main() ]5`A8-Q@
{ int k; *kF/yN
double w,v; i>G:*?a
printf(“输入物品种数\n”); ^tm2Duv
scanf((“%d”,&n); ;UX9Em
printf(“输入各物品的重量和价值\n”); /i Xl]<
for (totv=0.0,k=0;k<n;k++) F$JA
IL{W
{ scanf(“%1f%1f”,&w,&v); %Gu=Dkz
a[k].weight=w; :18}$
a[k].value=v; hZUS#75M5
totV+=V; jL4"FTcE]3
} P&5vVA6K7
printf(“输入限制重量\n”); #q0xlF@
scanf(“%1f”,&limitV); GO][`zZJ]
maxv=0.0; XM?c*,=fu
for (k=0;k<n;k++) cop[k]=0; Ly, ];
find(0,0.0,totV); 6OPNP0@r
for (k=0;k<n;k++) j9RpYz
if (option[k]) printf(“%4d”,k+1); z=jzr=lP
printf(“\n总价值为%.2f\n”,maxv); j`3IizN2
} >B;S;_5=
作为对比,下面以同样的解题思想,考虑非递归的程序解。为了提高找解速度,程序不是简单地逐一生成所有候选解,而是从每个物品对候选解的影响来形成值得进一步考虑的候选解,一个候选解是通过依次考察每个物品形成的。对物品i的考察有这样几种情况:当该物品被包含在候选解中依旧满足解的总重量的限制,该物品被包含在候选解中是应该继续考虑的;反之,该物品不应该包括在当前正在形成的候选解中。同样地,仅当物品不被包括在候选解中,还是有可能找到比目前临时最佳解更好的候选解时,才去考虑该物品不被包括在候选解中;反之,该物品不包括在当前候选解中的方案也不应继续考虑。对于任一值得继续考虑的方案,程序就去进一步考虑下一个物品。 q4"^G:
【程序】 R~TG5^(
# include <stdio.h> ko!aX;K
# define N 100 ^H<VH
double limitW; k^k1>F}yx
int cop[N]; (lit^v,9
struct ele { double weight; )F'hn+(B|G
double value; ahM?;p
} a[N]; c-@EHv
int k,n; yFFNzw{
struct { int flg; T%}x%9VO7
double tw; x5U;i
double tv; ,(c'h:@M
}twv[N]; l~kxK.Ru
void next(int i,double tw,double tv) u6\W"LW
{ twv.flg=1; \vj xCkg{
twv.tw=tw; s\3ZE11L
twv.tv=tv; P8CIKoKCV
} <_bGV
double find(struct ele *a,int n) =*y{y)B^g
{ int i,k,f; b%X}{/ n
double maxv,tw,tv,totv; }_Sgor83n
maxv=0; d+eb![fi
for (totv=0.0,k=0;k<n;k++) 4HXNu, T'
totv+=a[k].value; W"xRf0\V
next(0,0.0,totv); 2V+[:>F
i=0; 2@ZuH^qhk
While (i>=0) CFY4PuI"!
{ f=twv.flg; a[lx&CHgI
tw=twv.tw; !$o9:[B
tv=twv.tv; E/ku VZX
switch(f) AucX4J<
{ case 1: twv.flg++; xxdxRy9/
if (tw+a.weight<=limitW) 1BzU-Ma
if (i<n-1) "rQ?2?
{ next(i+1,tw+a.weight,tv); )[t3-'
i++; 1b!5h
} *q Ins/@
else *nUa0Zg4q6
{ maxv=tv; ju"j?2+F
for (k=0;k<n;k++) \WVY@eB
cop[k]=twv[k].flg!=0; a9nXh6
} 0R,Y[).U
break; VD=F{|^
case 0: i--; n6IN I~,
break; jLul:*
L
default: twv.flg=0; u/?;J1z:
if (tv-a.value>maxv) P(zquKm
if (i<n-1) 3e^'mT
{ next(i+1,tw,tv-a.value); rf&nTDaWI
i++; gBd~:ZUa
} _Nbh Wv
else |qibO \_
{ maxv=tv-a.value; V3\}]5
for (k=0;k<n;k++) FC8=
ru
cop[k]=twv[k].flg!=0; A)^A2xZQ
} ?[O Sy.6
break; ><;.vP
} QlxlT $o}
} w{ x=e
return maxv;
YwB\kN
} zhwajc
j7Lw(AJ
void main() TUO#6
{ double maxv; Zxv{qbF
printf(“输入物品种数\n”); @/?$ ZX/e[
scanf((“%d”,&n); pM@0>DVi
printf(“输入限制重量\n”); opxPK=kJ
scanf(“%1f”,&limitW); ga91#NWgK
printf(“输入各物品的重量和价值\n”); fbW#6:Y
for (k=0;k<n;k++) Wuji'sxTs
scanf(“%1f%1f”,&a[k].weight,&a[k].value); MXpj_+@
maxv=find(a,n); {D&:^f
printf(“\n选中的物品为\n”); K:sC6|wG
for (k=0;k<n;k++) <.6$zcW
if (option[k]) printf(“%4d”,k+1); 9hs7B!3pc>
printf(“\n总价值为%.2f\n”,maxv); !1?Nc}T0Q&
}