四、递归 ,W;8!n0
XaSl6CH
递归是设计和描述算法的一种有力的工具,由于它在复杂算法的描述中被经常采用,为此在进一步介绍其他算法设计方法之前先讨论它。 oC>~r1.j
能采用递归描述的算法通常有这样的特征:为求解规模为N的问题,设法将它分解成规模较小的问题,然后从这些小问题的解方便地构造出大问题的解,并且这些规模较小的问题也能采用同样的分解和综合方法,分解成规模更小的问题,并从这些更小问题的解构造出规模较大问题的解。特别地,当规模N=1时,能直接得解。 dU n#'<g5
【问题】 编写计算斐波那契(Fibonacci)数列的第n项函数fib(n)。 _fw'c*j
斐波那契数列为:0、1、1、2、3、……,即: t2<(by!
fib(0)=0; WG4|Jf Y
fib(1)=1; K2v)"|T)
fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) (当n>1时)。 Yb/^Qk59
写成递归函数有: =5F49
int fib(int n) CcETS}Q0C
{ if (n==0) return 0; (b!DJ;(O9
if (n==1) return 1; y+h=x4t
if (n>1) return fib(n-1)+fib(n-2); Gl9 a5b
} Pw1H)<X
递归算法的执行过程分递推和回归两个阶段。在递推阶段,把较复杂的问题(规模为n)的求解推到比原问题简单一些的问题(规模小于n)的求解。例如上例中,求解fib(n),把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是说,为计算fib(n),必须先计算fib(n-1)和fib(n-2),而计算fib(n-1)和fib(n-2),又必须先计算fib(n-3)和fib(n-4)。依次类推,直至计算fib(1)和fib(0),分别能立即得到结果1和0。在递推阶段,必须要有终止递归的情况。例如在函数fib中,当n为1和0的情况。 I!~Omr@P
在回归阶段,当获得最简单情况的解后,逐级返回,依次得到稍复杂问题的解,例如得到fib(1)和fib(0)后,返回得到fib(2)的结果,……,在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的结果后,返回得到fib(n)的结果。 /m:}rD
在编写递归函数时要注意,函数中的局部变量和参数知识局限于当前调用层,当递推进入“简单问题”层时,原来层次上的参数和局部变量便被隐蔽起来。在一系列“简单问题”层,它们各有自己的参数和局部变量。 '-{jn+,
由于递归引起一系列的函数调用,并且可能会有一系列的重复计算,递归算法的执行效率相对较低。当某个递归算法能较方便地转换成递推算法时,通常按递推算法编写程序。例如上例计算斐波那契数列的第n项的函数fib(n)应采用递推算法,即从斐波那契数列的前两项出发,逐次由前两项计算出下一项,直至计算出要求的第n项。 ?Kf@/jv
【问题】 组合问题 'KG`{K$
问题描述:找出从自然数1、2、……、n中任取r个数的所有组合。例如n=5,r=3的所有组合为: (1)5、4、3 (2)5、4、2 (3)5、4、1 Hq8.O/Y"=
(4)5、3、2 (5)5、3、1 (6)5、2、1 _95tgJ y
(7)4、3、2 (8)4、3、1 (9)4、2、1 ttrp|(
(10)3、2、1 ' 'N@ <|
分析所列的10个组合,可以采用这样的递归思想来考虑求组合函数的算法。设函数为void comb(int m,int k)为找出从自然数1、2、……、m中任取k个数的所有组合。当组合的第一个数字选定时,其后的数字是从余下的m-1个数中取k-1数的组合。这就将求m个数中取k个数的组合问题转化成求m-1个数中取k-1个数的组合问题。设函数引入工作数组a[ ]存放求出的组合的数字,约定函数将确定的k个数字组合的第一个数字放在a[k]中,当一个组合求出后,才将a[ ]中的一个组合输出。第一个数可以是m、m-1、……、k,函数将确定组合的第一个数字放入数组后,有两种可能的选择,因还未去顶组合的其余元素,继续递归去确定;或因已确定了组合的全部元素,输出这个组合。细节见以下程序中的函数comb。 &2^V<(19
【程序】 *x!5I$~J
# include <stdio.h> B$j,: ^
# define MAXN 100 Dr609(zg^
int a[MAXN]; ZO^+KE"
void comb(int m,int k) p6*D^-
{ int i,j; C: cu1Y9
for (i=m;i>=k;i--) ~ME=!;<_
{ a[k]=i; ^&%?Q_]
if (k>1) J4; ".Y=
comb(i-1,k-1); F9" K
else ~XRr }z_Lq
{ for (j=a[0];j>0;j--) ;MD{p1w
printf(“%4d”,a[j]); up?8Pq*
printf(“\n”); <j'#mUzd
} s+11) ~
} $?YkgK
} V{r@D!}
E}u\{uY
void main() +Xk!)Ge5E*
{ a[0]=3; /k,p]/e
comb(5,3); I/l]Yv!
} J=sQ].EK
【问题】 背包问题 G7yxCU(I\
问题描述:有不同价值、不同重量的物品n件,求从这n件物品中选取一部分物品的选择方案,使选中物品的总重量不超过指定的限制重量,但选中物品的价值之和最大。 T-MLW=Vu
设n件物品的重量分别为w0、w1、…、wn-1,物品的价值分别为v0、v1、…、vn-1。采用递归寻找物品的选择方案。设前面已有了多种选择的方案,并保留了其中总价值最大的方案于数组option[ ],该方案的总价值存于变量maxv。当前正在考察新方案,其物品选择情况保存于数组cop[ ]。假定当前方案已考虑了前i-1件物品,现在要考虑第i件物品;当前方案已包含的物品的重量之和为tw;至此,若其余物品都选择是可能的话,本方案能达到的总价值的期望值为tv。算法引入tv是当一旦当前方案的总价值的期望值也小于前面方案的总价值maxv时,继续考察当前方案变成无意义的工作,应终止当前方案,立即去考察下一个方案。因为当方案的总价值不比maxv大时,该方案不会被再考察,这同时保证函数后找到的方案一定会比前面的方案更好。 J_,y?}.e3
对于第i件物品的选择考虑有两种可能: .d2s4q\
(1) 考虑物品i被选择,这种可能性仅当包含它不会超过方案总重量限制时才是可行的。选中后,继续递归去考虑其余物品的选择。 b4Z#]o
(2) 考虑物品i不被选择,这种可能性仅当不包含物品i也有可能会找到价值更大的方案的情况。 83h6>D b
按以上思想写出递归算法如下: vDemY"wz
try(物品i,当前选择已达到的重量和,本方案可能达到的总价值tv) &lD4-_2J
{ /*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/ g7F>o76M
if(包含物品i是可以接受的) SWu=n1J.?H
{ 将物品i包含在当前方案中; #Jn_"cCRLx
if (i<n-1) 3k=q>~&@
try(i+1,tw+物品i的重量,tv); s=q}XIWK
else _Nd\Cm
/*又一个完整方案,因为它比前面的方案好,以它作为最佳方案*/ czj[U|eB}=
以当前方案作为临时最佳方案保存; Z7(hW,60
恢复物品i不包含状态; _K8-O>I "
} .{6TX"M
/*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/ I|:*Dy,~
if (不包含物品i仅是可男考虑的) 7BC9cS(0w9
if (i<n-1) P<bA~%<7"[
try(i+1,tw,tv-物品i的价值); 6ik6JL$AI
else A2B&X}K|U
/*又一个完整方案,因它比前面的方案好,以它作为最佳方案*/ j*P@]&e7d
以当前方案作为临时最佳方案保存; Si;e_a
} CxO)d7c
为了理解上述算法,特举以下实例。设有4件物品,它们的重量和价值见表: v^e[`]u(
物品 0 1 2 3 NY_Oo!)3
重量 5 3 2 1 @wpm;]
价值 4 4 3 1 w ^r*qi"
-wY6da*.W
并设限制重量为7。则按以上算法,下图表示找解过程。由图知,一旦找到一个解,算法就进一步找更好的佳。如能判定某个查找分支不会找到更好的解,算法不会在该分支继续查找,而是立即终止该分支,并去考察下一个分支。 iJ~pX\FKO
;Eck7nRA)
按上述算法编写函数和程序如下: &4]%&mX)-
【程序】 pt<84CP
# include <stdio.h> aFhsRE?YC=
# define N 100 ^E5Xpza
double limitW,totV,maxV; 0O[q6!&]
int option[N],cop[N]; iK)w3S}k1y
struct { double weight; L-Z1Xs
double value; wLW!_D,/R
}a[N]; |gT$M_}
int n; 'I;pS)sb
void find(int i,double tw,double tv) (!;4Y82#
{ int k; z.7 UfLV9
/*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/ .sCo,
if (tw+a.weight<=limitW) B~z&
"`
{ cop=1; lO<Ujb#"R
if (i<n-1) find(i+1,tw+a.weight,tv); 5Pn$@3
else t@b';Cuv
{ for (k=0;k<n;k++) %2V_%KA
option[k]=cop[k]; t:W`=^
maxv=tv; wN;o++6V
} ='>k|s:
cop=0; ^8B#-9Ph b
} c_%vD~6W-
/*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/ yh} V u
if (tv-a.value>maxV) 1Hzj-u&N/
if (i<n-1) find(i+1,tw,tv-a.value); AM,@BnEcuT
else GT`:3L
{ for (k=0;k<n;k++) i |cSO2O+
option[k]=cop[k]; ln9U>*<
maxv=tv-a.value; )J5(M`
} )4 "G1R`3
} PJO +@+"{@
2#ypM 9
void main() km.xy_v
{ int k; h2K1|PUKl[
double w,v; 4,UvTw*2z
printf(“输入物品种数\n”); "rBo?%:
scanf((“%d”,&n); ga0W;Vq&X
printf(“输入各物品的重量和价值\n”); , En
D3
|
for (totv=0.0,k=0;k<n;k++) HP"5*C5D
{ scanf(“%1f%1f”,&w,&v); ]#KZ
W)M
a[k].weight=w; KGFmC[
a[k].value=v; V] <J^m8
totV+=V; |-=^5q5
} +Z#lf
printf(“输入限制重量\n”); 02SFFqm
scanf(“%1f”,&limitV); d%\en&:la
maxv=0.0; j8_WEjG
for (k=0;k<n;k++) cop[k]=0; x)5#*Q
find(0,0.0,totV); _T)dmhG
for (k=0;k<n;k++) >Y!5c 2~`;
if (option[k]) printf(“%4d”,k+1); zHeqV
printf(“\n总价值为%.2f\n”,maxv); vSX71
} X70G@-w
作为对比,下面以同样的解题思想,考虑非递归的程序解。为了提高找解速度,程序不是简单地逐一生成所有候选解,而是从每个物品对候选解的影响来形成值得进一步考虑的候选解,一个候选解是通过依次考察每个物品形成的。对物品i的考察有这样几种情况:当该物品被包含在候选解中依旧满足解的总重量的限制,该物品被包含在候选解中是应该继续考虑的;反之,该物品不应该包括在当前正在形成的候选解中。同样地,仅当物品不被包括在候选解中,还是有可能找到比目前临时最佳解更好的候选解时,才去考虑该物品不被包括在候选解中;反之,该物品不包括在当前候选解中的方案也不应继续考虑。对于任一值得继续考虑的方案,程序就去进一步考虑下一个物品。 ZQZ>{K
【程序】 ok iI:
# include <stdio.h> mtvfG
# define N 100 DgGGrV`
double limitW; E0o=
int cop[N]; _r^Cu.[7
struct ele { double weight; ]KBzuz%
double value; g#2Q1t,~U
} a[N]; z|x0s0q?
int k,n; =I-SQI8
struct { int flg; 'x$>h)t]
double tw; {|9x*I
double tv; 'P3CgpF<Z2
}twv[N]; Lp`q[Z*
void next(int i,double tw,double tv) h%|Jkx!v-t
{ twv.flg=1; 7`9J.L&,;
twv.tw=tw; j,?>Q4G
twv.tv=tv; }lvD 5
} %3M1zZY
double find(struct ele *a,int n) / q*n*j
{ int i,k,f; 4Z.G
double maxv,tw,tv,totv; vc0'x4
maxv=0; NifzZEX
for (totv=0.0,k=0;k<n;k++) mR\rK&'6
totv+=a[k].value; hN=YC\l
next(0,0.0,totv); vN=e1\
i=0; 7A@]t_83Y
While (i>=0) ,HO~NqmB4
{ f=twv.flg; :FcYjw
tw=twv.tw; kmXpj3
tv=twv.tv; Lf`LFPKb
switch(f) I<PKwT/?
{ case 1: twv.flg++; ~M7
J{hK
if (tw+a.weight<=limitW) #+I)<a7\
if (i<n-1) B! $a Y
{ next(i+1,tw+a.weight,tv); ?0QoYA@.$
i++;
)GhMM
} nK=-SQ
else ?nN3K
{ maxv=tv; +0lvQVdp}
for (k=0;k<n;k++) Lx6C fR
cop[k]=twv[k].flg!=0; XMzL\Edo
} cK6M8:KW
break; YaI8hj@}
case 0: i--; K89 AZxH
break; j{PuZ^v1
default: twv.flg=0; $n>|9(K8
if (tv-a.value>maxv) aMI\gCB/
if (i<n-1) |a/1mUxQ&
{ next(i+1,tw,tv-a.value); ,QU2xw D[
i++; s"G;rcS}#
} vd+yU9
else aM/sD=}
{ maxv=tv-a.value; c@iP^;D
for (k=0;k<n;k++) $$QbcnOf$
cop[k]=twv[k].flg!=0; woIcW
} 3%c{eZxG=
break; gQHE2$i>
} O
:P%gz4
} *p)1c_
return maxv; aI @&x
} GjF'03Z4
3e~X`K1Q<
void main() 'U=D6X%V9m
{ double maxv; tu(k"'aJ
printf(“输入物品种数\n”); n$>E'oG2t
scanf((“%d”,&n); 57:Wh=x
printf(“输入限制重量\n”); oB$7m4xO\
scanf(“%1f”,&limitW); .CXe*Vbd
printf(“输入各物品的重量和价值\n”); CYlZ<