四、递归 =KD[#au6a
AUfcf*
递归是设计和描述算法的一种有力的工具,由于它在复杂算法的描述中被经常采用,为此在进一步介绍其他算法设计方法之前先讨论它。 u09D`QPP]
能采用递归描述的算法通常有这样的特征:为求解规模为N的问题,设法将它分解成规模较小的问题,然后从这些小问题的解方便地构造出大问题的解,并且这些规模较小的问题也能采用同样的分解和综合方法,分解成规模更小的问题,并从这些更小问题的解构造出规模较大问题的解。特别地,当规模N=1时,能直接得解。 !ZCxi
【问题】 编写计算斐波那契(Fibonacci)数列的第n项函数fib(n)。 bX5/xf$q
斐波那契数列为:0、1、1、2、3、……,即: /len8FRf
fib(0)=0; -7J~^m2x
fib(1)=1; o$7UWKW8
fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) (当n>1时)。 *TCV}=V G
写成递归函数有: L}_VT
J
int fib(int n) { Q!Xxe>6
{ if (n==0) return 0; +apn3\_
if (n==1) return 1; c]qh)F$s8
if (n>1) return fib(n-1)+fib(n-2); :3J`+V}9;
} r/0AM}[!*j
递归算法的执行过程分递推和回归两个阶段。在递推阶段,把较复杂的问题(规模为n)的求解推到比原问题简单一些的问题(规模小于n)的求解。例如上例中,求解fib(n),把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是说,为计算fib(n),必须先计算fib(n-1)和fib(n-2),而计算fib(n-1)和fib(n-2),又必须先计算fib(n-3)和fib(n-4)。依次类推,直至计算fib(1)和fib(0),分别能立即得到结果1和0。在递推阶段,必须要有终止递归的情况。例如在函数fib中,当n为1和0的情况。 C{G%"q
在回归阶段,当获得最简单情况的解后,逐级返回,依次得到稍复杂问题的解,例如得到fib(1)和fib(0)后,返回得到fib(2)的结果,……,在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的结果后,返回得到fib(n)的结果。 yLl:G;
在编写递归函数时要注意,函数中的局部变量和参数知识局限于当前调用层,当递推进入“简单问题”层时,原来层次上的参数和局部变量便被隐蔽起来。在一系列“简单问题”层,它们各有自己的参数和局部变量。 [[ Nn~7
由于递归引起一系列的函数调用,并且可能会有一系列的重复计算,递归算法的执行效率相对较低。当某个递归算法能较方便地转换成递推算法时,通常按递推算法编写程序。例如上例计算斐波那契数列的第n项的函数fib(n)应采用递推算法,即从斐波那契数列的前两项出发,逐次由前两项计算出下一项,直至计算出要求的第n项。 tn(6T^u
【问题】 组合问题 kK0zb{
问题描述:找出从自然数1、2、……、n中任取r个数的所有组合。例如n=5,r=3的所有组合为: (1)5、4、3 (2)5、4、2 (3)5、4、1 9'|_1Q.b^
(4)5、3、2 (5)5、3、1 (6)5、2、1 J%!vhQ
(7)4、3、2 (8)4、3、1 (9)4、2、1 ')2LP;(
(10)3、2、1 q%)."10}]
分析所列的10个组合,可以采用这样的递归思想来考虑求组合函数的算法。设函数为void comb(int m,int k)为找出从自然数1、2、……、m中任取k个数的所有组合。当组合的第一个数字选定时,其后的数字是从余下的m-1个数中取k-1数的组合。这就将求m个数中取k个数的组合问题转化成求m-1个数中取k-1个数的组合问题。设函数引入工作数组a[ ]存放求出的组合的数字,约定函数将确定的k个数字组合的第一个数字放在a[k]中,当一个组合求出后,才将a[ ]中的一个组合输出。第一个数可以是m、m-1、……、k,函数将确定组合的第一个数字放入数组后,有两种可能的选择,因还未去顶组合的其余元素,继续递归去确定;或因已确定了组合的全部元素,输出这个组合。细节见以下程序中的函数comb。 ltkA7dUbu
【程序】 1$:O9{F
# include <stdio.h> mQ<Vwx0
# define MAXN 100 W&3,XFnI_
int a[MAXN]; 1:u~T@;" `
void comb(int m,int k) XXD4T9Wy
{ int i,j; )]\-Uy$x
for (i=m;i>=k;i--) J'L6^-gV
{ a[k]=i; SaRn>n\
if (k>1) d4A:XNKB
comb(i-1,k-1); Q#&6J =}
else 0fV}n:4Pq
{ for (j=a[0];j>0;j--) ?f!&M
printf(“%4d”,a[j]); wARd^Iw
printf(“\n”); zcio\P=^|B
} 3J3wKw!`
} 5B3sRF}
} _U,Hi?b"$}
t+,2 p|B
void main() 0a,B&o1
{ a[0]=3; +]~}kvk:
comb(5,3); hxw6^EA
} gnf4H
V~
【问题】 背包问题 U0N6\+
问题描述:有不同价值、不同重量的物品n件,求从这n件物品中选取一部分物品的选择方案,使选中物品的总重量不超过指定的限制重量,但选中物品的价值之和最大。 wX!0KxR/Z
设n件物品的重量分别为w0、w1、…、wn-1,物品的价值分别为v0、v1、…、vn-1。采用递归寻找物品的选择方案。设前面已有了多种选择的方案,并保留了其中总价值最大的方案于数组option[ ],该方案的总价值存于变量maxv。当前正在考察新方案,其物品选择情况保存于数组cop[ ]。假定当前方案已考虑了前i-1件物品,现在要考虑第i件物品;当前方案已包含的物品的重量之和为tw;至此,若其余物品都选择是可能的话,本方案能达到的总价值的期望值为tv。算法引入tv是当一旦当前方案的总价值的期望值也小于前面方案的总价值maxv时,继续考察当前方案变成无意义的工作,应终止当前方案,立即去考察下一个方案。因为当方案的总价值不比maxv大时,该方案不会被再考察,这同时保证函数后找到的方案一定会比前面的方案更好。 8\PI1U
对于第i件物品的选择考虑有两种可能: \vpX6!T
(1) 考虑物品i被选择,这种可能性仅当包含它不会超过方案总重量限制时才是可行的。选中后,继续递归去考虑其余物品的选择。 f>Tn#OW
(2) 考虑物品i不被选择,这种可能性仅当不包含物品i也有可能会找到价值更大的方案的情况。 VmXXj6l&
按以上思想写出递归算法如下: N,F[x0&?
try(物品i,当前选择已达到的重量和,本方案可能达到的总价值tv) rV*Ri~Vx
{ /*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/ kp6 &e
if(包含物品i是可以接受的) zOy_qozk
{ 将物品i包含在当前方案中; "K;""]#wg0
if (i<n-1) '=Acg"aT
try(i+1,tw+物品i的重量,tv); tQTjqy{K
else j|[ >f
/*又一个完整方案,因为它比前面的方案好,以它作为最佳方案*/ PMQlJ&
以当前方案作为临时最佳方案保存; nY?&k$n
恢复物品i不包含状态; Ypinbej
} { /
,?3
/*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/ oTTE<Ct[
if (不包含物品i仅是可男考虑的) c;n\HYk
if (i<n-1) Lg-!,Y
try(i+1,tw,tv-物品i的价值); Q*e\I8R}
else dkQP.Tj$i
/*又一个完整方案,因它比前面的方案好,以它作为最佳方案*/ Pv*]AF;9pQ
以当前方案作为临时最佳方案保存; z1.vnGP
} :1v.Jk
为了理解上述算法,特举以下实例。设有4件物品,它们的重量和价值见表: /38XaKc{6
物品 0 1 2 3 y3P4]sq
重量 5 3 2 1 P\@efq@!
价值 4 4 3 1 jm'^>p,9G
-"x@ V7X
并设限制重量为7。则按以上算法,下图表示找解过程。由图知,一旦找到一个解,算法就进一步找更好的佳。如能判定某个查找分支不会找到更好的解,算法不会在该分支继续查找,而是立即终止该分支,并去考察下一个分支。 \J-D@b;
<EY{goW
按上述算法编写函数和程序如下: AMK(-=
【程序】 meGLT/
# include <stdio.h> E0u&hBd3_
# define N 100 /HdjPxH
double limitW,totV,maxV; ^#4<~zU
int option[N],cop[N]; on1B~?*D
struct { double weight; 3A.lS+P1
double value; :+8qtIytKX
}a[N]; m.lzkS]P
int n; z0&Y_Up+5
void find(int i,double tw,double tv) Kv ajk~
{ int k; \Y6r
!D9
/*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/ :xY9eq=
if (tw+a.weight<=limitW) *0_Q0SeE,o
{ cop=1; (Dx p
if (i<n-1) find(i+1,tw+a.weight,tv); VWk{?*Dp
else ~CHVU3
{ for (k=0;k<n;k++) *De'4r 2
option[k]=cop[k]; nUCOHVI7
maxv=tv; ^3QJv{)Q
} N).'>
cop=0; J"XZnb)E=
} RxVZn""
/*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/ HI[Pf%${
if (tv-a.value>maxV) !1
Y[e^
if (i<n-1) find(i+1,tw,tv-a.value); a/[)A _-
else C>QWV[F
{ for (k=0;k<n;k++) Tz&h[+ 6`
option[k]=cop[k]; v]}\Ns/
maxv=tv-a.value; {=;<1PykLb
} "kjSg7m*:
} l]~IZTC
}q,d JE
void main() O.jCDAP
{ int k; a.a
,_
double w,v; P#[?Kfi
printf(“输入物品种数\n”); >.uIp4@(
scanf((“%d”,&n); |w5,%#AeO$
printf(“输入各物品的重量和价值\n”); bas1(/|S
for (totv=0.0,k=0;k<n;k++) hUEA)c
{ scanf(“%1f%1f”,&w,&v); yA';~V\V{>
a[k].weight=w; WYIv&h<h"
a[k].value=v; #K!"/,d@>J
totV+=V; )^
P Wr^
} 2AEVBkF;M
printf(“输入限制重量\n”); {+EnJ"
scanf(“%1f”,&limitV); d-z[=1m
maxv=0.0; Zh`[A9I/
for (k=0;k<n;k++) cop[k]=0; b,>>E^wd!
find(0,0.0,totV); 3u<
ntx ><
for (k=0;k<n;k++) 0g#x QzE
if (option[k]) printf(“%4d”,k+1); Y+5aT(6O
printf(“\n总价值为%.2f\n”,maxv); ,vAcri
97
} s@6Jz\<E
作为对比,下面以同样的解题思想,考虑非递归的程序解。为了提高找解速度,程序不是简单地逐一生成所有候选解,而是从每个物品对候选解的影响来形成值得进一步考虑的候选解,一个候选解是通过依次考察每个物品形成的。对物品i的考察有这样几种情况:当该物品被包含在候选解中依旧满足解的总重量的限制,该物品被包含在候选解中是应该继续考虑的;反之,该物品不应该包括在当前正在形成的候选解中。同样地,仅当物品不被包括在候选解中,还是有可能找到比目前临时最佳解更好的候选解时,才去考虑该物品不被包括在候选解中;反之,该物品不包括在当前候选解中的方案也不应继续考虑。对于任一值得继续考虑的方案,程序就去进一步考虑下一个物品。 "/%o'Fq
【程序】 $weC '-n@
# include <stdio.h> x0lAJaG
# define N 100 M(n@ytz
double limitW; u-QHV1H`(
int cop[N]; 6MLjU1
struct ele { double weight; OP\L
double value; 1\g r
;b
} a[N]; `O`MW} c
int k,n;
*U`R<mV\
struct { int flg; LCuz_LTFq{
double tw; lNTbd"}$:
double tv; g8@F/$HY
}twv[N]; \9`.jB~<
void next(int i,double tw,double tv) *Rxn3tR7
{ twv.flg=1; Rr}m(e=
twv.tw=tw; gMp' S
twv.tv=tv; +,j6dYub
} IR8yE`(h
double find(struct ele *a,int n) 7y_<BCx
h
{ int i,k,f; QlS_{XV
double maxv,tw,tv,totv; s'bTP(wl9
maxv=0; ,5AEtoF
for (totv=0.0,k=0;k<n;k++) %pqB/
totv+=a[k].value; `Jh<8~1
next(0,0.0,totv); _(I)C`8m
i=0; `>OKV;~{z
While (i>=0) 6Cfsh<]b
{ f=twv.flg; >]uu?!PU
tw=twv.tw; dN7.W
tv=twv.tv; '*Ld,`
switch(f) =ADOf_n}
{ case 1: twv.flg++; Ejnk\ 8:
if (tw+a.weight<=limitW) cwzgIm+
if (i<n-1) B:Awy/XMi
{ next(i+1,tw+a.weight,tv); +O.qYX
i++; S)/548=`
} jmcys
_N3
else 2\;/mQI2A
{ maxv=tv; HJP~
lg
for (k=0;k<n;k++) |dDKO
cop[k]=twv[k].flg!=0; Ey=}bBx
} >?6HUUQ
break; JpxQS~VX
case 0: i--; Nr).*]g@~
break; >]o>iOz;]
default: twv.flg=0; Z]x6np
if (tv-a.value>maxv) !~V^GlY
if (i<n-1) \
FJ ae
{ next(i+1,tw,tv-a.value); c _!!DEe7
i++; 6Nt/>[
} *||Q_tlz
else z 7+>G/o
{ maxv=tv-a.value; 4YR{
*
for (k=0;k<n;k++) N
Hn#c3o
cop[k]=twv[k].flg!=0; /)`]p1c1%w
} L\t_zf_0
break; Et0)6^-v
} <lLJf8OK
} M?GkHJ %!
return maxv; ia3!&rZ
} z^s\&gix
X{<taD2~
void main() ]Qa|9G,b
{ double maxv; RD=V`l{Z
printf(“输入物品种数\n”); L&~' SC
scanf((“%d”,&n); upX@8WxR
printf(“输入限制重量\n”); H6Bw3I[
scanf(“%1f”,&limitW); *aFY+.;U`
printf(“输入各物品的重量和价值\n”); 29m$S7[
for (k=0;k<n;k++) pM}~/
scanf(“%1f%1f”,&a[k].weight,&a[k].value); Bf6i{`!G
maxv=find(a,n); E+LQyvF[
printf(“\n选中的物品为\n”); Tu5p`p3-j
for (k=0;k<n;k++) Rjv;[
if (option[k]) printf(“%4d”,k+1); 4O/IT1+A
printf(“\n总价值为%.2f\n”,maxv); X8-x$07)
}