四、递归 ~@c<5 -`{
g8MW6Y
递归是设计和描述算法的一种有力的工具,由于它在复杂算法的描述中被经常采用,为此在进一步介绍其他算法设计方法之前先讨论它。 ]?VVwft
能采用递归描述的算法通常有这样的特征:为求解规模为N的问题,设法将它分解成规模较小的问题,然后从这些小问题的解方便地构造出大问题的解,并且这些规模较小的问题也能采用同样的分解和综合方法,分解成规模更小的问题,并从这些更小问题的解构造出规模较大问题的解。特别地,当规模N=1时,能直接得解。 ~#)hqU'
【问题】 编写计算斐波那契(Fibonacci)数列的第n项函数fib(n)。 HfSx*@\s
斐波那契数列为:0、1、1、2、3、……,即: b=lJ`|
fib(0)=0; 59)w+AW
fib(1)=1; &f.|MNz;
fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) (当n>1时)。 3Y38lP:>h
写成递归函数有: rq3f/_#L!O
int fib(int n) O^~IY/[
{ if (n==0) return 0; L3Y,z3/
if (n==1) return 1; ;9z|rWsF
if (n>1) return fib(n-1)+fib(n-2); *G.vY#h
} 7zw0g~+
递归算法的执行过程分递推和回归两个阶段。在递推阶段,把较复杂的问题(规模为n)的求解推到比原问题简单一些的问题(规模小于n)的求解。例如上例中,求解fib(n),把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是说,为计算fib(n),必须先计算fib(n-1)和fib(n-2),而计算fib(n-1)和fib(n-2),又必须先计算fib(n-3)和fib(n-4)。依次类推,直至计算fib(1)和fib(0),分别能立即得到结果1和0。在递推阶段,必须要有终止递归的情况。例如在函数fib中,当n为1和0的情况。 /";tkad^
在回归阶段,当获得最简单情况的解后,逐级返回,依次得到稍复杂问题的解,例如得到fib(1)和fib(0)后,返回得到fib(2)的结果,……,在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的结果后,返回得到fib(n)的结果。 p}!i_P
在编写递归函数时要注意,函数中的局部变量和参数知识局限于当前调用层,当递推进入“简单问题”层时,原来层次上的参数和局部变量便被隐蔽起来。在一系列“简单问题”层,它们各有自己的参数和局部变量。 >p-UQc
由于递归引起一系列的函数调用,并且可能会有一系列的重复计算,递归算法的执行效率相对较低。当某个递归算法能较方便地转换成递推算法时,通常按递推算法编写程序。例如上例计算斐波那契数列的第n项的函数fib(n)应采用递推算法,即从斐波那契数列的前两项出发,逐次由前两项计算出下一项,直至计算出要求的第n项。 o:QL%J{[
【问题】 组合问题 Zu|NF
uFI
问题描述:找出从自然数1、2、……、n中任取r个数的所有组合。例如n=5,r=3的所有组合为: (1)5、4、3 (2)5、4、2 (3)5、4、1 >M2~p&Si
(4)5、3、2 (5)5、3、1 (6)5、2、1 !}h)
|
(7)4、3、2 (8)4、3、1 (9)4、2、1 >S:(BJMo
(10)3、2、1 \bd KLcKI,
分析所列的10个组合,可以采用这样的递归思想来考虑求组合函数的算法。设函数为void comb(int m,int k)为找出从自然数1、2、……、m中任取k个数的所有组合。当组合的第一个数字选定时,其后的数字是从余下的m-1个数中取k-1数的组合。这就将求m个数中取k个数的组合问题转化成求m-1个数中取k-1个数的组合问题。设函数引入工作数组a[ ]存放求出的组合的数字,约定函数将确定的k个数字组合的第一个数字放在a[k]中,当一个组合求出后,才将a[ ]中的一个组合输出。第一个数可以是m、m-1、……、k,函数将确定组合的第一个数字放入数组后,有两种可能的选择,因还未去顶组合的其余元素,继续递归去确定;或因已确定了组合的全部元素,输出这个组合。细节见以下程序中的函数comb。 *`+zf7-f
【程序】 `qhT
# include <stdio.h> <h:xZtz
# define MAXN 100 nvrh7l9nX
int a[MAXN]; ^.LB(GZ,
void comb(int m,int k) 95'+8*YCY
{ int i,j; {`SMxDevc}
for (i=m;i>=k;i--) kMVr[q,MEq
{ a[k]=i; O`y3H lc
if (k>1) GL O3v.
n;
comb(i-1,k-1); 6m?<"y8]
else ys=}
V|
{ for (j=a[0];j>0;j--) ]F+|C
printf(“%4d”,a[j]); i,;JI>U
printf(“\n”); qa^cJ1@
} Kc\8GkdB
} nIg 88*6b,
} +w]#26`d
Cik1~5iF
void main() As46:<!2
{ a[0]=3; <w^u^)iLy1
comb(5,3); D{JjSky
} l-%] f]>
【问题】 背包问题 rgIWM"
问题描述:有不同价值、不同重量的物品n件,求从这n件物品中选取一部分物品的选择方案,使选中物品的总重量不超过指定的限制重量,但选中物品的价值之和最大。 9~W]D!m,
设n件物品的重量分别为w0、w1、…、wn-1,物品的价值分别为v0、v1、…、vn-1。采用递归寻找物品的选择方案。设前面已有了多种选择的方案,并保留了其中总价值最大的方案于数组option[ ],该方案的总价值存于变量maxv。当前正在考察新方案,其物品选择情况保存于数组cop[ ]。假定当前方案已考虑了前i-1件物品,现在要考虑第i件物品;当前方案已包含的物品的重量之和为tw;至此,若其余物品都选择是可能的话,本方案能达到的总价值的期望值为tv。算法引入tv是当一旦当前方案的总价值的期望值也小于前面方案的总价值maxv时,继续考察当前方案变成无意义的工作,应终止当前方案,立即去考察下一个方案。因为当方案的总价值不比maxv大时,该方案不会被再考察,这同时保证函数后找到的方案一定会比前面的方案更好。 M584dMM
对于第i件物品的选择考虑有两种可能: i+O7," (@
(1) 考虑物品i被选择,这种可能性仅当包含它不会超过方案总重量限制时才是可行的。选中后,继续递归去考虑其余物品的选择。 2ul8]=
(2) 考虑物品i不被选择,这种可能性仅当不包含物品i也有可能会找到价值更大的方案的情况。 HU>>\t?d
按以上思想写出递归算法如下: m)L50ot:/
try(物品i,当前选择已达到的重量和,本方案可能达到的总价值tv) ."ZG0Zg
{ /*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/ k'O.1
if(包含物品i是可以接受的) QtnNc!,n
{ 将物品i包含在当前方案中; [voZ=+/
if (i<n-1) ~Fh+y+g?
try(i+1,tw+物品i的重量,tv); +ytP5K7
else q~> +x?30
/*又一个完整方案,因为它比前面的方案好,以它作为最佳方案*/ Y!xPmL^]?
以当前方案作为临时最佳方案保存; 'zm5wqrkAd
恢复物品i不包含状态; }MOXJb @
} $3"hOEN@5`
/*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/ 7k*
if (不包含物品i仅是可男考虑的) a^l)vh{+
if (i<n-1) p[P#!
try(i+1,tw,tv-物品i的价值); f>6{tI5X
else lkT :e)w
/*又一个完整方案,因它比前面的方案好,以它作为最佳方案*/
n}a`|Nbk
以当前方案作为临时最佳方案保存; A4f"v)vM
} @Pcgm"H<
为了理解上述算法,特举以下实例。设有4件物品,它们的重量和价值见表: m"~ddqSMT
物品 0 1 2 3 crv#IC2
重量 5 3 2 1 .;7V]B1o
价值 4 4 3 1 GU>j8.
gamB]FPZ
并设限制重量为7。则按以上算法,下图表示找解过程。由图知,一旦找到一个解,算法就进一步找更好的佳。如能判定某个查找分支不会找到更好的解,算法不会在该分支继续查找,而是立即终止该分支,并去考察下一个分支。 s\mA3t
8:& !F`o
按上述算法编写函数和程序如下: :dW\Q&iW
【程序】 =,zB|sjn
# include <stdio.h> PMTrG78p*
# define N 100 c#{|sR5
double limitW,totV,maxV; 0M;g&&mF
int option[N],cop[N]; >s/_B//[
struct { double weight; [;ZCq!)>
double value; s]99'Q",
}a[N]; .9x*YS
int n; lU!_V%n
void find(int i,double tw,double tv) `_cv& "K9f
{ int k; -crMO57/
/*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/ 3r+c&^
if (tw+a.weight<=limitW) /b>xQ.G
{ cop=1; y%vAEQ2j=
if (i<n-1) find(i+1,tw+a.weight,tv); ~v(c9I)
else ?rOj?J9
{ for (k=0;k<n;k++) `WH$rx!
option[k]=cop[k]; n`Z}tQ%)o
maxv=tv; (!fx5&F
} ?S&
yF
cop=0; ,Gv}N&
} nZi&`HjQ
/*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/ aR3jeB,=x
if (tv-a.value>maxV) MuWZf2C
if (i<n-1) find(i+1,tw,tv-a.value); cz IEkm
else <6-73LsHcP
{ for (k=0;k<n;k++) Z]uc *Ed
option[k]=cop[k]; {,5.svO
maxv=tv-a.value; `5- ;'nX
} <VD7(j]'^
} C<teZz8/w
fSd|6iFH
void main() \h'7[vkr
{ int k; =b*GV6b
double w,v; jo&j<3i
printf(“输入物品种数\n”); &v0]{)PO
scanf((“%d”,&n); <xeB9
printf(“输入各物品的重量和价值\n”); "Q+wO+}6
for (totv=0.0,k=0;k<n;k++) =KQIrS:
{ scanf(“%1f%1f”,&w,&v); SM)"vr_
a[k].weight=w; 69$R.
a[k].value=v; ZhCd**
totV+=V; 90uXJyW;d
} ! xM=7Q
k
printf(“输入限制重量\n”); k'%yvlv
scanf(“%1f”,&limitV); 873 bg|^hs
maxv=0.0; OP+*%$wR
for (k=0;k<n;k++) cop[k]=0; %Y0lMNP
find(0,0.0,totV); 7Ku&Q<mi
for (k=0;k<n;k++) 1v:Ql\^cT
if (option[k]) printf(“%4d”,k+1); 4I&(>9 @z<
printf(“\n总价值为%.2f\n”,maxv); YSxr(\~j
} 8 !:2:
作为对比,下面以同样的解题思想,考虑非递归的程序解。为了提高找解速度,程序不是简单地逐一生成所有候选解,而是从每个物品对候选解的影响来形成值得进一步考虑的候选解,一个候选解是通过依次考察每个物品形成的。对物品i的考察有这样几种情况:当该物品被包含在候选解中依旧满足解的总重量的限制,该物品被包含在候选解中是应该继续考虑的;反之,该物品不应该包括在当前正在形成的候选解中。同样地,仅当物品不被包括在候选解中,还是有可能找到比目前临时最佳解更好的候选解时,才去考虑该物品不被包括在候选解中;反之,该物品不包括在当前候选解中的方案也不应继续考虑。对于任一值得继续考虑的方案,程序就去进一步考虑下一个物品。 c*\i%I#f2
【程序】 j7E;\AZ^
# include <stdio.h> vKW!;U9~P
# define N 100 k(Xs&f
`
double limitW; ^|oI^"IQ=
int cop[N]; Y.I~.66s
struct ele { double weight; bK }ZR*)
double value; ;B
|
} a[N]; X,+a 6F
int k,n; FWeUZI+
struct { int flg; ~m<K5K6 V
double tw; (t3gNin
double tv; DXD+,y\=
}twv[N]; ,? <;zq
void next(int i,double tw,double tv) r{?qvl!q
{ twv.flg=1; 0 ;LF>+fJ
twv.tw=tw; XSof{:V
twv.tv=tv; xKBi".wA
} JtSwbdN
double find(struct ele *a,int n) =LIb0TZ2
{ int i,k,f; IR3SP[K"
double maxv,tw,tv,totv; 4_>;|2
maxv=0; %cDGs^lgA
for (totv=0.0,k=0;k<n;k++) Ndl{f=sjX-
totv+=a[k].value; !L;_f'\)6
next(0,0.0,totv); vG6*[c8
i=0; i{N?Y0YQs0
While (i>=0) A-B>VX
{ f=twv.flg; Ln6emXqw
tw=twv.tw; "
]k}V2l
tv=twv.tv; ';\norx;
switch(f) shdzkET8N
{ case 1: twv.flg++; WYRC_U7
if (tw+a.weight<=limitW) eK(k;$4\^Y
if (i<n-1) c]1AM)xo
{ next(i+1,tw+a.weight,tv); tc.|mIvw
i++; o_=4Ex
"
} @Oz3A<M
else P=}dR&gk'
{ maxv=tv; !/H `
for (k=0;k<n;k++) =?4[:#Rh
cop[k]=twv[k].flg!=0; ]O:u9If
} }s?w-u+(c6
break; ?/T=Gk
case 0: i--; a{e
2*V
break; fzVN;h
default: twv.flg=0; Muq~p~m}
if (tv-a.value>maxv) WU=EJY}#n
if (i<n-1) 2A|mXWG}~
{ next(i+1,tw,tv-a.value); 416}# Mk
i++; #k/T\PQ0s
} }LS.bQKqi,
else ?`Mk$Y%my
{ maxv=tv-a.value; |Wck-+}U
for (k=0;k<n;k++)
,_V/W'
cop[k]=twv[k].flg!=0; #F3'<(j
} ;2`t0#J$]
break; `K@N\VM
} lxZ9y
} {4SaSv^/
return maxv; 2h<_?GM\s
} -#;ZZ\fdj
,hJx3g5#n
void main() WoNJF6=?
{ double maxv; JXww_e[
printf(“输入物品种数\n”); HD{u#~8{
scanf((“%d”,&n); 3&E@#I^],
printf(“输入限制重量\n”); IDF0nx]
scanf(“%1f”,&limitW); E0HE@pqr
printf(“输入各物品的重量和价值\n”); LZG(T$dI
for (k=0;k<n;k++) !s$1C=z5u
scanf(“%1f%1f”,&a[k].weight,&a[k].value); b^<7a&
maxv=find(a,n); r91i :
printf(“\n选中的物品为\n”); 3NZK$d=4
for (k=0;k<n;k++) %*<Wf4P"
if (option[k]) printf(“%4d”,k+1); pHoxw|'Y
printf(“\n总价值为%.2f\n”,maxv); '-~J.8-</
}