六、贪婪法 Vvl8P|x.<
FzFP 0
贪婪法是一种不追求最优解，只希望得到较为满意解的方法。贪婪法一般可以快速得到满意的解，因为它省去了为找最优解要穷尽所有可能而必须耗费的大量时间。贪婪法常以当前情况为基础作最优选择，而不考虑各种可能的整体情况，所以贪婪法不要回溯。 ~T'$gl
例如平时购物找钱时，为使找回的零钱的硬币数最少，不考虑找零钱的所有各种发表方案，而是从最大面值的币种开始，按递减的顺序考虑各币种，先尽量用大面值的币种，当不足大面值币种的金额时才去考虑下一种较小面值的币种。这就是在使用贪婪法。这种方法在这里总是最优，是因为银行对其发行的硬币种类和硬币面值的巧妙安排。如只有面值分别为1、5和11单位的硬币，而希望找回总额为15单位的硬币。按贪婪算法，应找1个11单位面值的硬币和4个1单位面值的硬币，共找回5个硬币。但最优的解应是3个5单位面值的硬币。 DEKO] i
【问题】 装箱问题 O tm7j>w
问题描述：装箱问题可简述如下：设有编号为0、1、…、n-1的n种物品，体积分别为v0、v1、…、vn-1。将这n种物品装到容量都为V的若干箱子里。约定这n种物品的体积均不超过V，即对于0≤i＜n，有0＜vi≤V。不同的装箱方案所需要的箱子数目可能不同。装箱问题要求使装尽这n种物品的箱子数要少。 "I[u D)$
若考察将n种物品的集合分划成n个或小于n个物品的所有子集，最优解就可以找到。但所有可能划分的总数太大。对适当大的n，找出所有可能的划分要花费的时间是无法承受的。为此，对装箱问题采用非常简单的近似算法，即贪婪法。该算法依次将物品放到它第一个能放进去的箱子中，该算法虽不能保证找到最优解，但还是能找到非常好的解。不失一般性，设n件物品的体积是按从大到小排好序的，即有v0≥v1≥…≥vn-1。如不满足上述要求，只要先对这n件物品按它们的体积从大到小排序，然后按排序结果对物品重新编号即可。装箱算法简单描述如下： {_J1m&/
{ 输入箱子的容积； NUX2{8gs
输入物品种数n； [\pp K C
按体积从大到小顺序，输入各物品的体积； ew 8Manx
预置已用箱子链为空； LB hDP5qF
预置已用箱子计数器box_count为0； HwZ@T &_4
for (i=0;i<n;i++) N*>&XJ#
{ 从已用的第一只箱子开始顺序寻找能放入物品i 的箱子j； ]B-3Lh
if （已用箱子都不能再放物品i） p!cNn7{;
{ 另用一个箱子，并将物品i放入该箱子； YoRD9M~iG~
box_count++； eP|hxqM&9
} 'ewVn1ME[
else AaJnRtBS~
将物品i放入箱子j； xy<)zKp
} \F),SL
} _ ~E_#cNn
上述算法能求出需要的箱子数box_count，并能求出各箱子所装物品。下面的例子说明该算法不一定能找到最优解，设有6种物品，它们的体积分别为：60、45、35、20、20和20单位体积，箱子的容积为100个单位体积。按上述算法计算，需三只箱子，各箱子所装物品分别为：第一只箱子装物品1、3；第二只箱子装物品2、4、5；第三只箱子装物品6。而最优解为两只箱子，分别装物品1、4、5和2、3、6。 0Y ld!L
若每只箱子所装物品用链表来表示，链表首结点指针存于一个结构中，结构记录尚剩余的空间量和该箱子所装物品链表的首指针。另将全部箱子的信息也构成链表。以下是按以上算法编写的程序。 zzyD'n7D
【程序】 !X/O1PM|
# include <stdio.h> m9 f[nT
# include <stdlib.h> VaylbYUCT/
typedef struct ele }kb6;4>c
{ int vno; A ]~%<=b
struct ele *link; %; tBWyq}_
} ELE; u=!n9W~"
typedef struct hnode < o&\/uO~H
{ int remainder; $PKUcT0N9
ELE *head; Y \7/`ty
Struct hnode *next; aboA9pwH
} HNODE; ^Jn=a9Q6Z
'fY(
Vm
void main() V% ! my[b
{ int n, i, box_count, box_volume, *a; +K*_=gHF.
HNODE *box_h, *box_t, *j; { FNq&)#`
ELE *p, *q; r*4@S~;
Printf(“输入箱子容积\n”); [5jXYqD=vj
Scanf(“%d”,&box_volume); 1FmqNf:V7I
Printf(“输入物品种数\n”); Ng<oz*>U
Scanf(“%d”,&n); H}&4#CQ'!
A=(int *)malloc(sizeof(int)*n); TY *q[AWG
Printf(“请按体积从大到小顺序输入各物品的体积：”); &+F}$8,
For (i=0;i<n;i++) scanf(“%d”,a+i); \"hP*DJ"
Box_h=box_t=NULL; r#' E;Yx
Box_count=0; eWAgYe2
For (i=0;i<n;i++) BZWGXzOFh
{ p=(ELE *)malloc(sizeof(ELE)); :jioF{,
p->vno=i; AoN |&o
for (j=box_h;j!=NULL;j=j->next) ? $rH yI
if (j->remainder>=a) break; 7e`h,e=
if (j==NULL) ;CdxKr- d
{ j=(HNODE *)malloc(sizeof(HNODE)); M/ a5o|>8
j->remainder=box_volume-a; 3D"?|rd~
j->head=NULL; Fo[=Dh*AqU
if (box_h==NULL) box_h=box_t=j; !3Me
6&$O
else box_t=boix_t->next=j; g7U>G=,;?U
j->next=NULL; a$P$Ngi?S
box_count++; |+(Hia,X
} ^B7C8YP
else j->remainder-=a; @c#M^:9Dc
for (q=j->next;q!=NULL&&q->link!=NULL;q=q->link); \KPwh]0
if (q==NULL) *Wz\FixP0
{ p->link=j->head; b R ;Wf5
j->head=p; AwO'%+Bv
} 92S,W?(
else 05Go*Qv V
{ p->link=NULL; rA#Ji~
q->link=p; Y!L<&
sl
} ~ 'L`RJR
} E'4 dI:
printf(“共使用了%d只箱子”，box_count); :\8&Th}Se
printf(“各箱子装物品情况如下：”); $ACD6u6
for (j=box_h,i=1;j!=NULL;j=j->next,i++) 0}y-DCuQ
{ printf(“第%2d只箱子，还剩余容积%4d，所装物品有；\n”,I,j->remainder); |F^h >^
x
for (p=j->head;p!=NULL;p=p->link) /A~+32 B
printf(“%4d”,p->vno+1); LS4|$X4H`!
printf(“\n”); _q dLA
} \mp5G&+/Q
} [xsiSt?6
【问题】 马的遍历 iKN800^u
问题描述：在8×8方格的棋盘上，从任意指定的方格出发，为马寻找一条走遍棋盘每一格并且只经过一次的一条路径。 ck 4g=QpD{
马在某个方格，可以在一步内到达的不同位置最多有8个，如图所示。如用二维数组board[ ][ ]表示棋盘，其元素记录马经过该位置时的步骤号。另对马的8种可能走法（称为着法）设定一个顺序，如当前位置在棋盘的（i，j）方格，下一个可能的位置依次为（i+2，j+1）、（i+1，j+2）、（i-1，j+2）、（i-2，j+1）、（i-2，j-1）、（i-1，j-2）、（i+1，j-2）、（i+2，j-1），实际可以走的位置尽限于还未走过的和不越出边界的那些位置。为便于程序的同意处理，可以引入两个数组，分别存储各种可能走法对当前位置的纵横增量。 sz+Uq]Mn
4 3 VyL|d^'f_
5 2 C1KO]e >
马 -$m?ShDd
6 1 ^L;k
7 0 Q.Ljz
Z
j>t*k!db
对于本题，一般可以采用回溯法，这里采用Warnsdoff策略求解，这也是一种贪婪法，其选择下一出口的贪婪标准是在那些允许走的位置中，选择出口最少的那个位置。如马的当前位置（i，j）只有三个出口，他们是位置（i+2，j+1）、（i-2，j+1）和（i-1，j-2），如分别走到这些位置，这三个位置又分别会有不同的出口，假定这三个位置的出口个数分别为4、2、3，则程序就选择让马走向（i-2，j+1）位置。 -S %)2(f^
由于程序采用的是一种贪婪法，整个找解过程是一直向前，没有回溯，所以能非常快地找到解。但是，对于某些开始位置，实际上有解，而该算法不能找到解。对于找不到解的情况，程序只要改变8种可能出口的选择顺序，就能找到解。改变出口选择顺序，就是改变有相同出口时的选择标准。以下程序考虑到这种情况，引入变量start，用于控制8种可能着法的选择顺序。开始时为0，当不能找到解时，就让start增1，重新找解。细节以下程序。 esVZ2_eL
【程序】 3tean U`
# include <stdio.h> f.SmCgG
int delta_i[ ]={2,1,-1,-2,-2,-1,1,2}; =3?"s(9
int delta_j[ ]={1,2,2,1,-1,-2,-2,-1}; P",E/beV
int board[8][8]; 2DbM48\E
int exitn(int i,int j,int s,int a[ ]) +4 %: q~C
{ int i1,j1,k,count; vs~lyM/
for (count=k=0;k<8;k++) r 2L =gI
{ i1=i+delta_i[(s+k)%8]; D1VM_O
j1=i+delta_j[(s+k)%8]; p~w|St 7jg
if (i1>=0&&i1<8&&j1>=0&&j1<8&&board[I1][j1]==0) *=ymK*
a[count++]=(s+k)%8; r@m2foaO
} -P3;7_}]:h
return count; ,dIo\Lm
} ] /{987
.}l&lj@#
int next(int i,int j,int s) y3vm+tJc{
{ int m,k,mm,min,a[8],b[8],temp; ^9C9[$Q
m=exitn(i,j,s,a); \v}3j^Yu
if (m==0) return –1; 1 9t'
for (min=9,k=0;k<m;k++) {b6g!sE
{ temp=exitn(I+delta_i[a[k]],j+delta_j[a[k]],s,b); vz_ZXy9Z
if (temp<min) kbkq.fYr
{ min=temp; |r=.}9
-
kk=a[k]; ib%x&?||
} \7Fkeo+
} 2i3& 3oz]O
return kk; pD>^Dfd
} Ma`Goi\vFk
? hQ,'M2
void main() rX<gcntv
{ int sx,sy,i,j,step,no,start; .5~ W3 v
<
for (sx=0;sx<8;sx++) Z/ypWoV(
for (sy=0;sy<8;sy++) _("&jfn
{ start=0; ?w[M{
do { YQ+Kl[ ec
for (i=0;i<8;i++) `b{.K,
for (j=0;j<8;j++) $q6'VLPo
board[j]=0; s *B-|
board[sx][sy]=1; Kc:}
K y
I=sx; j=sy; %g>{m2o
For (step=2;step<64;step++) PNbs7 f
{ if ((no=next(i,j,start))==-1) break; f1RfNiW.
I+=delta_i[no]; !B3lsXLSY
j+=delta_j[no]; hoQ?8}r:
board[j]=step; MXxE)"G*a
} r2*'5jk_
if (step>64) break; K{&b "Ba1
start++; 42m}c1R
} while(step<=64) /j1p^=ARV
for (i=0;i<8;i++) O<x53MN^
{ for (j=0;j<8;j++) +RO=a_AS
printf(“%4d”,board[j]); [,|Z<
printf(“\n\n”); [n_H9$
} Dg LSDKO!
scanf(“%*c”); > HL8hN'q'
} =/Dp*
}
