四、递归 da^9Fb
:3Jh f$
递归是设计和描述算法的一种有力的工具,由于它在复杂算法的描述中被经常采用,为此在进一步介绍其他算法设计方法之前先讨论它。 i\eykYc,
能采用递归描述的算法通常有这样的特征:为求解规模为N的问题,设法将它分解成规模较小的问题,然后从这些小问题的解方便地构造出大问题的解,并且这些规模较小的问题也能采用同样的分解和综合方法,分解成规模更小的问题,并从这些更小问题的解构造出规模较大问题的解。特别地,当规模N=1时,能直接得解。 EX5kF
【问题】 编写计算斐波那契(Fibonacci)数列的第n项函数fib(n)。 Ua3ERBX{
斐波那契数列为:0、1、1、2、3、……,即: T<=\5mn
fib(0)=0; ^
pR&
fib(1)=1; XZT( :(
fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) (当n>1时)。 Q\z*q,^R
写成递归函数有: Mo<p+*8u:
int fib(int n) q.X-2jjpx:
{ if (n==0) return 0; 6%xl}z]o
if (n==1) return 1; QtzHr
if (n>1) return fib(n-1)+fib(n-2); FxT
[4
} gddGl=rm
递归算法的执行过程分递推和回归两个阶段。在递推阶段,把较复杂的问题(规模为n)的求解推到比原问题简单一些的问题(规模小于n)的求解。例如上例中,求解fib(n),把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是说,为计算fib(n),必须先计算fib(n-1)和fib(n-2),而计算fib(n-1)和fib(n-2),又必须先计算fib(n-3)和fib(n-4)。依次类推,直至计算fib(1)和fib(0),分别能立即得到结果1和0。在递推阶段,必须要有终止递归的情况。例如在函数fib中,当n为1和0的情况。 ^b.J z}
在回归阶段,当获得最简单情况的解后,逐级返回,依次得到稍复杂问题的解,例如得到fib(1)和fib(0)后,返回得到fib(2)的结果,……,在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的结果后,返回得到fib(n)的结果。 Zj0&/S
在编写递归函数时要注意,函数中的局部变量和参数知识局限于当前调用层,当递推进入“简单问题”层时,原来层次上的参数和局部变量便被隐蔽起来。在一系列“简单问题”层,它们各有自己的参数和局部变量。 JZ7-?
o
由于递归引起一系列的函数调用,并且可能会有一系列的重复计算,递归算法的执行效率相对较低。当某个递归算法能较方便地转换成递推算法时,通常按递推算法编写程序。例如上例计算斐波那契数列的第n项的函数fib(n)应采用递推算法,即从斐波那契数列的前两项出发,逐次由前两项计算出下一项,直至计算出要求的第n项。 s`2o\]
【问题】 组合问题 d$Xvax,C
问题描述:找出从自然数1、2、……、n中任取r个数的所有组合。例如n=5,r=3的所有组合为: (1)5、4、3 (2)5、4、2 (3)5、4、1 TP^0`L
(4)5、3、2 (5)5、3、1 (6)5、2、1 n#fg7d%
(7)4、3、2 (8)4、3、1 (9)4、2、1 x"d*[m
(10)3、2、1 _[7uLWyC9
分析所列的10个组合,可以采用这样的递归思想来考虑求组合函数的算法。设函数为void comb(int m,int k)为找出从自然数1、2、……、m中任取k个数的所有组合。当组合的第一个数字选定时,其后的数字是从余下的m-1个数中取k-1数的组合。这就将求m个数中取k个数的组合问题转化成求m-1个数中取k-1个数的组合问题。设函数引入工作数组a[ ]存放求出的组合的数字,约定函数将确定的k个数字组合的第一个数字放在a[k]中,当一个组合求出后,才将a[ ]中的一个组合输出。第一个数可以是m、m-1、……、k,函数将确定组合的第一个数字放入数组后,有两种可能的选择,因还未去顶组合的其余元素,继续递归去确定;或因已确定了组合的全部元素,输出这个组合。细节见以下程序中的函数comb。 m1hf[cg
【程序】 m
;vNA
# include <stdio.h> !14z4]b
# define MAXN 100 3IxT2@H)
int a[MAXN]; wDG4rN9x
void comb(int m,int k) YD%Kd&es
{ int i,j; RPWYm
for (i=m;i>=k;i--) \3/9lE|gh
{ a[k]=i; v]!7=>/2
if (k>1) IR&u55#I6
comb(i-1,k-1); 5%$#3LT|
else Lsz`nD5
{ for (j=a[0];j>0;j--) koU.`l.
printf(“%4d”,a[j]); 1XKk~G"D
printf(“\n”); g/J!U8W"
} {m?x},
} 73.b9mF
} .,,73"
#Grm-W9E
void main() GXl?Zg
{ a[0]=3; one>vi`=
comb(5,3); AQ5v`xE4
} :KLD~k7yA(
【问题】 背包问题 @6SSk=9_S
问题描述:有不同价值、不同重量的物品n件,求从这n件物品中选取一部分物品的选择方案,使选中物品的总重量不超过指定的限制重量,但选中物品的价值之和最大。 BTyVfq
sx
设n件物品的重量分别为w0、w1、…、wn-1,物品的价值分别为v0、v1、…、vn-1。采用递归寻找物品的选择方案。设前面已有了多种选择的方案,并保留了其中总价值最大的方案于数组option[ ],该方案的总价值存于变量maxv。当前正在考察新方案,其物品选择情况保存于数组cop[ ]。假定当前方案已考虑了前i-1件物品,现在要考虑第i件物品;当前方案已包含的物品的重量之和为tw;至此,若其余物品都选择是可能的话,本方案能达到的总价值的期望值为tv。算法引入tv是当一旦当前方案的总价值的期望值也小于前面方案的总价值maxv时,继续考察当前方案变成无意义的工作,应终止当前方案,立即去考察下一个方案。因为当方案的总价值不比maxv大时,该方案不会被再考察,这同时保证函数后找到的方案一定会比前面的方案更好。 jo*9QO
对于第i件物品的选择考虑有两种可能: DPOPRi~
(1) 考虑物品i被选择,这种可能性仅当包含它不会超过方案总重量限制时才是可行的。选中后,继续递归去考虑其余物品的选择。 :Mk}Suf&H
(2) 考虑物品i不被选择,这种可能性仅当不包含物品i也有可能会找到价值更大的方案的情况。 EUkNh>U?
按以上思想写出递归算法如下: /WfxI>v
try(物品i,当前选择已达到的重量和,本方案可能达到的总价值tv) |*5nr5c_L
{ /*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/ Ln|${c
if(包含物品i是可以接受的) /["T#`
{ 将物品i包含在当前方案中; A@OV!DJe]
if (i<n-1) <GN?J.B
try(i+1,tw+物品i的重量,tv); 0Pk-FSY|f
else Cs{f'I
/*又一个完整方案,因为它比前面的方案好,以它作为最佳方案*/ UJ[a&b
以当前方案作为临时最佳方案保存; rzHa&:Y
恢复物品i不包含状态; /(aX>_7jg
} pg)g&ifKl
/*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/ pS;dvZ
if (不包含物品i仅是可男考虑的) ,GIqRT4K
if (i<n-1) }[`?#`sW
try(i+1,tw,tv-物品i的价值); p/~kw:I
else (&,R1dLo
/*又一个完整方案,因它比前面的方案好,以它作为最佳方案*/ M'iKk[Hjfx
以当前方案作为临时最佳方案保存; \irjIXtV
} dk/*%a
+
为了理解上述算法,特举以下实例。设有4件物品,它们的重量和价值见表: xF;v 6d
物品 0 1 2 3 E,@UM$alP
重量 5 3 2 1 8A .7=C' z
价值 4 4 3 1 8)8oR&(f
[@Y q^.6t
并设限制重量为7。则按以上算法,下图表示找解过程。由图知,一旦找到一个解,算法就进一步找更好的佳。如能判定某个查找分支不会找到更好的解,算法不会在该分支继续查找,而是立即终止该分支,并去考察下一个分支。 nif'l/@"
;[ueNP%*y|
按上述算法编写函数和程序如下: V&H8-,7z
【程序】 Yur)_m
# include <stdio.h> nh)R
# define N 100 sEyl\GL
double limitW,totV,maxV; qhtAtP>i"
int option[N],cop[N]; ^^l"brPa
struct { double weight; ^6>|!
double value; .`N`M9
}a[N]; |"w<CKlQ
int n; t}*!UixE
void find(int i,double tw,double tv) >:&p(eu)L0
{ int k; Po.BcytM
/*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/ uTGvXKL7
if (tw+a.weight<=limitW) #9VY[<
{ cop=1; LW5ggU/
if (i<n-1) find(i+1,tw+a.weight,tv); g}QTZT8
else ,D,f9
{ for (k=0;k<n;k++) XF$]KAL0
option[k]=cop[k]; $#3<rcOq
maxv=tv; yuDd%
1k
} .fY<"2g
cop=0; i!x5T%x_
} Z3>3&|&
/*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/ ~j#6 goKn
if (tv-a.value>maxV) hpV
/F
if (i<n-1) find(i+1,tw,tv-a.value); =3dbw8I
else jYID44$
{ for (k=0;k<n;k++) 'xoE
[0!
option[k]=cop[k]; }IkEyJsk
maxv=tv-a.value; \'tz|
} ./ y[<e
} -01 1U!
6-14Htsk6
void main() +{i"G,3
{ int k; P3ev4DL
double w,v; QYw4kD}
printf(“输入物品种数\n”); JD`;,Md
scanf((“%d”,&n); _XNR um4
printf(“输入各物品的重量和价值\n”); qS}RFM5|
for (totv=0.0,k=0;k<n;k++) / !
{ scanf(“%1f%1f”,&w,&v); x][9ptrh
a[k].weight=w; |SukiXJZF
a[k].value=v; "|r^l
totV+=V; O8~U<'=*
} p2DNbY\]
printf(“输入限制重量\n”); NF(IF.8G
scanf(“%1f”,&limitV); }rA+W-7
maxv=0.0; Q[Sd
for (k=0;k<n;k++) cop[k]=0; 9iddanQA
find(0,0.0,totV); K(KP3Q
for (k=0;k<n;k++) .O%1)p
if (option[k]) printf(“%4d”,k+1); /Q>{YsRRB
printf(“\n总价值为%.2f\n”,maxv); /0&:Yp=>
} ?$@KwA
作为对比,下面以同样的解题思想,考虑非递归的程序解。为了提高找解速度,程序不是简单地逐一生成所有候选解,而是从每个物品对候选解的影响来形成值得进一步考虑的候选解,一个候选解是通过依次考察每个物品形成的。对物品i的考察有这样几种情况:当该物品被包含在候选解中依旧满足解的总重量的限制,该物品被包含在候选解中是应该继续考虑的;反之,该物品不应该包括在当前正在形成的候选解中。同样地,仅当物品不被包括在候选解中,还是有可能找到比目前临时最佳解更好的候选解时,才去考虑该物品不被包括在候选解中;反之,该物品不包括在当前候选解中的方案也不应继续考虑。对于任一值得继续考虑的方案,程序就去进一步考虑下一个物品。 imCl{vt(kj
【程序】 w$[Ds
# include <stdio.h> .Jat^iFj0
# define N 100
uC*:#[
double limitW; ji)4WG/1
int cop[N]; c]!D`FA*K
struct ele { double weight; K!D!b'|bb
double value; -,fa{ yt-
} a[N]; FDd>(!>
int k,n; ctUF/[_w;
struct { int flg; CBnouKc:
double tw; r|\'9"@
double tv; :UDn^(#
}twv[N]; /mBBeg^a
void next(int i,double tw,double tv) <,4R2'
{ twv.flg=1; &Wz`>qYL*
twv.tw=tw; +x9"#0|k;
twv.tv=tv; 5ih"Nds[H
} <X I35\^
double find(struct ele *a,int n) jl e%|8m&@
{ int i,k,f; p-'6_\F.Ke
double maxv,tw,tv,totv; Xlqz8cI
maxv=0; eFj6p<
for (totv=0.0,k=0;k<n;k++) ADv"_bB:h
totv+=a[k].value; B`?N0t%X
next(0,0.0,totv);
A?;8%00
i=0; Msa6yD#
While (i>=0) VkTlPmr
{ f=twv.flg; s{z~Axup-
tw=twv.tw; `l gjw=
tv=twv.tv; !,6v=n[Nz
switch(f) dp[w?AMhM9
{ case 1: twv.flg++; 9"HmHy&:E
if (tw+a.weight<=limitW) }@:QYTBi }
if (i<n-1) e@,u`{C[
{ next(i+1,tw+a.weight,tv); u$%D9Z ^
i++; |:(23O
} :<t{ =0G
else C7jc 6(>m
{ maxv=tv; )pZekh]v
for (k=0;k<n;k++) s7.p$r
cop[k]=twv[k].flg!=0; C'8!cPFVv
} s=nVoc{Yt
break; /[20e1 w!
case 0: i--; gP%|:"
break; M)`HK
.
default: twv.flg=0; _Vo)<--+I
if (tv-a.value>maxv) sk7rU+<
if (i<n-1) 5U)ab3:
{ next(i+1,tw,tv-a.value); ,XeyE;||
i++; >9.5-5"
} Y[iDX#
else
joChML_
{ maxv=tv-a.value; &$b\=
for (k=0;k<n;k++) cZDxsd]
cop[k]=twv[k].flg!=0; P>{US1t
} @ kJ0K
break; `sk!C7%
} >k&8el6h
} 8:P*z
return maxv; N>A{)_k3
} Ue{vg$5||
/lS+J(I
void main() ?~aZ#%*i8
{ double maxv; atLV`U&t
printf(“输入物品种数\n”); *%T)\\H2
scanf((“%d”,&n); "K|)<6J
printf(“输入限制重量\n”); gf68iR.Gs
scanf(“%1f”,&limitW); pKt-R07*
printf(“输入各物品的重量和价值\n”); x7P([^i
for (k=0;k<n;k++) 4AY
_#f5u
scanf(“%1f%1f”,&a[k].weight,&a[k].value); Lh8bQH
maxv=find(a,n); ?~"`^|d
printf(“\n选中的物品为\n”); ^w:OS5 %R
for (k=0;k<n;k++) 0W T#6D
if (option[k]) printf(“%4d”,k+1); *M>
iZO*@
printf(“\n总价值为%.2f\n”,maxv); JcTp(fnW.~
}