四、递归 |:[vpJFK
2=+ ,jX{
递归是设计和描述算法的一种有力的工具,由于它在复杂算法的描述中被经常采用,为此在进一步介绍其他算法设计方法之前先讨论它。 EIm\!'R]
能采用递归描述的算法通常有这样的特征:为求解规模为N的问题,设法将它分解成规模较小的问题,然后从这些小问题的解方便地构造出大问题的解,并且这些规模较小的问题也能采用同样的分解和综合方法,分解成规模更小的问题,并从这些更小问题的解构造出规模较大问题的解。特别地,当规模N=1时,能直接得解。 R?SHXJ%'
【问题】 编写计算斐波那契(Fibonacci)数列的第n项函数fib(n)。 cLP@0`^H
斐波那契数列为:0、1、1、2、3、……,即: kn|l 3+
fib(0)=0; U8z"{
fib(1)=1; X#<Sv>c^
fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) (当n>1时)。 ^k##a-t<_>
写成递归函数有: 2oASz|
int fib(int n) @'4D9A
{ if (n==0) return 0; k@U`?7X
if (n==1) return 1; [nD4\x+
if (n>1) return fib(n-1)+fib(n-2); )zV5KC{{
} 9%6`ZS~3
递归算法的执行过程分递推和回归两个阶段。在递推阶段,把较复杂的问题(规模为n)的求解推到比原问题简单一些的问题(规模小于n)的求解。例如上例中,求解fib(n),把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是说,为计算fib(n),必须先计算fib(n-1)和fib(n-2),而计算fib(n-1)和fib(n-2),又必须先计算fib(n-3)和fib(n-4)。依次类推,直至计算fib(1)和fib(0),分别能立即得到结果1和0。在递推阶段,必须要有终止递归的情况。例如在函数fib中,当n为1和0的情况。 X
jN.X
在回归阶段,当获得最简单情况的解后,逐级返回,依次得到稍复杂问题的解,例如得到fib(1)和fib(0)后,返回得到fib(2)的结果,……,在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的结果后,返回得到fib(n)的结果。 Q6>( Z
在编写递归函数时要注意,函数中的局部变量和参数知识局限于当前调用层,当递推进入“简单问题”层时,原来层次上的参数和局部变量便被隐蔽起来。在一系列“简单问题”层,它们各有自己的参数和局部变量。 Or>[_3
由于递归引起一系列的函数调用,并且可能会有一系列的重复计算,递归算法的执行效率相对较低。当某个递归算法能较方便地转换成递推算法时,通常按递推算法编写程序。例如上例计算斐波那契数列的第n项的函数fib(n)应采用递推算法,即从斐波那契数列的前两项出发,逐次由前两项计算出下一项,直至计算出要求的第n项。 zxdO3I
【问题】 组合问题 Jl ?Q}SB
问题描述:找出从自然数1、2、……、n中任取r个数的所有组合。例如n=5,r=3的所有组合为: (1)5、4、3 (2)5、4、2 (3)5、4、1 x0GZ2*vfsb
(4)5、3、2 (5)5、3、1 (6)5、2、1 bf(&N-"A
(7)4、3、2 (8)4、3、1 (9)4、2、1 tYa8I/HpT
(10)3、2、1 Ts6X:D4,
分析所列的10个组合,可以采用这样的递归思想来考虑求组合函数的算法。设函数为void comb(int m,int k)为找出从自然数1、2、……、m中任取k个数的所有组合。当组合的第一个数字选定时,其后的数字是从余下的m-1个数中取k-1数的组合。这就将求m个数中取k个数的组合问题转化成求m-1个数中取k-1个数的组合问题。设函数引入工作数组a[ ]存放求出的组合的数字,约定函数将确定的k个数字组合的第一个数字放在a[k]中,当一个组合求出后,才将a[ ]中的一个组合输出。第一个数可以是m、m-1、……、k,函数将确定组合的第一个数字放入数组后,有两种可能的选择,因还未去顶组合的其余元素,继续递归去确定;或因已确定了组合的全部元素,输出这个组合。细节见以下程序中的函数comb。 V1;-5L75
【程序】 2jC\yY |PN
# include <stdio.h> RfRaWbn
# define MAXN 100 &N ;6G`3
int a[MAXN]; k0?6.[ku
void comb(int m,int k) _"V0vV
{ int i,j; [_@OCiV5)
for (i=m;i>=k;i--) *[n^6)
{ a[k]=i; .5xg;Qg\Y
if (k>1) *JXJ
2
comb(i-1,k-1); P s;:g0
else k3XtKPO
{ for (j=a[0];j>0;j--) g2q=&eI"
printf(“%4d”,a[j]); !6C d.fpWL
printf(“\n”); VRt*!v<")
} cqp#1oM4M
} sA.yb,Fw
} ` 454=3H
=T]OYk
void main() ")OLmkC
{ a[0]=3; p.|;
k%c7
comb(5,3); l?[DO?m+R
} %-CC_R|0$
【问题】 背包问题 dz 2d`=`3
问题描述:有不同价值、不同重量的物品n件,求从这n件物品中选取一部分物品的选择方案,使选中物品的总重量不超过指定的限制重量,但选中物品的价值之和最大。 {5JXg9um
设n件物品的重量分别为w0、w1、…、wn-1,物品的价值分别为v0、v1、…、vn-1。采用递归寻找物品的选择方案。设前面已有了多种选择的方案,并保留了其中总价值最大的方案于数组option[ ],该方案的总价值存于变量maxv。当前正在考察新方案,其物品选择情况保存于数组cop[ ]。假定当前方案已考虑了前i-1件物品,现在要考虑第i件物品;当前方案已包含的物品的重量之和为tw;至此,若其余物品都选择是可能的话,本方案能达到的总价值的期望值为tv。算法引入tv是当一旦当前方案的总价值的期望值也小于前面方案的总价值maxv时,继续考察当前方案变成无意义的工作,应终止当前方案,立即去考察下一个方案。因为当方案的总价值不比maxv大时,该方案不会被再考察,这同时保证函数后找到的方案一定会比前面的方案更好。 =
xk@ Q7$
对于第i件物品的选择考虑有两种可能: 5WYU&8+]{:
(1) 考虑物品i被选择,这种可能性仅当包含它不会超过方案总重量限制时才是可行的。选中后,继续递归去考虑其余物品的选择。 [4e5(!e
(2) 考虑物品i不被选择,这种可能性仅当不包含物品i也有可能会找到价值更大的方案的情况。 8 Hn{CJ~'
按以上思想写出递归算法如下: Q<pM
tW
try(物品i,当前选择已达到的重量和,本方案可能达到的总价值tv) a{W-+t
{ /*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/ qT4s*kqr
if(包含物品i是可以接受的) 4{KsCd)
{ 将物品i包含在当前方案中; %*nZ,r
if (i<n-1) y]_DW6W
try(i+1,tw+物品i的重量,tv); yNL71 >w4
else Sj?'T@
/*又一个完整方案,因为它比前面的方案好,以它作为最佳方案*/ VUb*,/hxa
以当前方案作为临时最佳方案保存; ,+&j/0U
恢复物品i不包含状态; rpmDr7G
} !w Bmf&=
/*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/ .$iIr:Tc>
if (不包含物品i仅是可男考虑的) SH.'E Hd
if (i<n-1) i}19$x.D`
try(i+1,tw,tv-物品i的价值); 8Yh2K}
else
f/ZE_MN2
/*又一个完整方案,因它比前面的方案好,以它作为最佳方案*/ JSU\Hh!
以当前方案作为临时最佳方案保存; Y$^\D'.k
} 2 OTpGl
为了理解上述算法,特举以下实例。设有4件物品,它们的重量和价值见表: <4g^c&
物品 0 1 2 3 S SXSgp
重量 5 3 2 1 /v[-KjTj7
价值 4 4 3 1 :w+Rs+R
|=POV]K
并设限制重量为7。则按以上算法,下图表示找解过程。由图知,一旦找到一个解,算法就进一步找更好的佳。如能判定某个查找分支不会找到更好的解,算法不会在该分支继续查找,而是立即终止该分支,并去考察下一个分支。 x3Uv&
:-)[B^0
按上述算法编写函数和程序如下: H =jnCGk
【程序】 ]!N5jbA@
# include <stdio.h> 7-DC"`Y8e
# define N 100 c
z|IBsa*
double limitW,totV,maxV; jYkx]J%S
int option[N],cop[N]; 1yu!:8=ee
struct { double weight; %04n,&mg
double value; v|GvN|_|
}a[N]; K^bn4Nr
int n; ,o)MiR9-[A
void find(int i,double tw,double tv) ,n*.Yq
{ int k; _$0Ix6y,
/*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/ t>xV]W<
if (tw+a.weight<=limitW) iYf4 /1IG,
{ cop=1; !Xm: $KH
if (i<n-1) find(i+1,tw+a.weight,tv); 7}Sw(g)o7
else Q$%@.@
{ for (k=0;k<n;k++) c.fj[U|j
option[k]=cop[k]; "{k3~epYaN
maxv=tv; 9M<? *8)
} VsC]z,
oV
cop=0; <Yc:,CU
} zP9!fA
/*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/ zkMQ=,[
if (tv-a.value>maxV) m"*:XfOL
if (i<n-1) find(i+1,tw,tv-a.value); RY'y%6Z]ZO
else oZ}e
w!V
{ for (k=0;k<n;k++) g:Dg?_o
option[k]=cop[k]; X'c5s~9
maxv=tv-a.value; luMNi^FQ
} CbZ1<r" /
} )~`zjVx_
,J|};s+
void main() AOe~VW
{ int k; fAs:[
double w,v; ^{w&&+#,q
printf(“输入物品种数\n”); M Pt7 /
scanf((“%d”,&n); p,Z6/e[SI
printf(“输入各物品的重量和价值\n”); b Y>Ug{O;
for (totv=0.0,k=0;k<n;k++)
)nY/ RO
{ scanf(“%1f%1f”,&w,&v); /dfZ>k8
a[k].weight=w; }DSz_^
a[k].value=v; ^!9b#Ja
totV+=V; '|Oi#S
} k=@Q#=;*[W
printf(“输入限制重量\n”); C$bK!]a
scanf(“%1f”,&limitV); h@J`:KO
maxv=0.0; )d(cXN-T
for (k=0;k<n;k++) cop[k]=0; (]1%s?ud*
find(0,0.0,totV); ^tah4QmUA
for (k=0;k<n;k++) ;Gi w7a)
if (option[k]) printf(“%4d”,k+1); B;m18LDu
printf(“\n总价值为%.2f\n”,maxv); EP[
gq
} "rXGXQu
作为对比,下面以同样的解题思想,考虑非递归的程序解。为了提高找解速度,程序不是简单地逐一生成所有候选解,而是从每个物品对候选解的影响来形成值得进一步考虑的候选解,一个候选解是通过依次考察每个物品形成的。对物品i的考察有这样几种情况:当该物品被包含在候选解中依旧满足解的总重量的限制,该物品被包含在候选解中是应该继续考虑的;反之,该物品不应该包括在当前正在形成的候选解中。同样地,仅当物品不被包括在候选解中,还是有可能找到比目前临时最佳解更好的候选解时,才去考虑该物品不被包括在候选解中;反之,该物品不包括在当前候选解中的方案也不应继续考虑。对于任一值得继续考虑的方案,程序就去进一步考虑下一个物品。 yhIg)/?L
【程序】 bYtF#Y
# include <stdio.h> MiC&av
# define N 100 $H#&.IjY
double limitW; h+Dok#g
int cop[N]; cZu:dwE
struct ele { double weight; <fw[7=_)^
double value; "\9@gfsp)
} a[N]; mK4a5H
int k,n; G2A pm`/ y
struct { int flg; te|VKYN%}[
double tw; aQ)9<LsI
double tv; `drvu?F
}twv[N]; vmoqsdZ/
void next(int i,double tw,double tv) C.@zVt
{ twv.flg=1; lY 1m%
twv.tw=tw; oqj3Q
1
twv.tv=tv;
={fi&j
} IOA{lN6
double find(struct ele *a,int n) 4nY2v['m0
{ int i,k,f; GB+G1w
double maxv,tw,tv,totv; ESs)|t h
maxv=0; h*d,AJz &.
for (totv=0.0,k=0;k<n;k++) yR`-rJb V
totv+=a[k].value; ~DJ/sY2/
next(0,0.0,totv); ;'h7
j*6
i=0; 9J?j2!D
While (i>=0) %=]{~5f>
{ f=twv.flg; L^=>)\R2$[
tw=twv.tw; +q4T];<
tv=twv.tv; '.iUv#j4Sh
switch(f) EgY]U1{
{ case 1: twv.flg++; PQfx0n,
if (tw+a.weight<=limitW) v uJ~Lg{
if (i<n-1) :70oO}0m.
{ next(i+1,tw+a.weight,tv); u4S3NLG)
i++; dlWw=^
} D1w_Vpz
else :>,d$f^tqE
{ maxv=tv; M6e"4Gh
for (k=0;k<n;k++) D\k);BU~
cop[k]=twv[k].flg!=0; Ki' EO$
} 0trFLX
break; ';1
c
case 0: i--; UpgOU.
break; nyIb8=f
default: twv.flg=0; n\ IVpgP
if (tv-a.value>maxv) =v_ju;C=
if (i<n-1) T1x$v,)8x
{ next(i+1,tw,tv-a.value); ht1
jrCe
i++; U'\\(m|
} =3}+f-6"'
else OxD\e5r
{ maxv=tv-a.value; !PO(Bfd
for (k=0;k<n;k++) S"Efp/-
cop[k]=twv[k].flg!=0; 04(h!@!g:
} #
mzJ^V-
break; _|*j8v3
} rOcfPLJi0
} #>233<
return maxv; @<};Bo'
} -F*j`
iBZ+gsSP
void main() &o?pZ(\C
{ double maxv; kh`X92~
printf(“输入物品种数\n”); Kkd7D_bZ*
scanf((“%d”,&n); ]-R8W/fDn
printf(“输入限制重量\n”); J)R2O4OEd
scanf(“%1f”,&limitW); I($u
L@$
printf(“输入各物品的重量和价值\n”); lFB Ka
,6
for (k=0;k<n;k++) #0mn_#-P)
scanf(“%1f%1f”,&a[k].weight,&a[k].value); !0w'S>e
maxv=find(a,n); 9)=as/o
printf(“\n选中的物品为\n”); x$Lt?'
for (k=0;k<n;k++) qOng?(I
if (option[k]) printf(“%4d”,k+1); /knt5
printf(“\n总价值为%.2f\n”,maxv); ]AN)M>
}