四、递归 0o-.m
f%ThS42
递归是设计和描述算法的一种有力的工具,由于它在复杂算法的描述中被经常采用,为此在进一步介绍其他算法设计方法之前先讨论它。 QT`|"RI%
能采用递归描述的算法通常有这样的特征:为求解规模为N的问题,设法将它分解成规模较小的问题,然后从这些小问题的解方便地构造出大问题的解,并且这些规模较小的问题也能采用同样的分解和综合方法,分解成规模更小的问题,并从这些更小问题的解构造出规模较大问题的解。特别地,当规模N=1时,能直接得解。 zH)M,+P
【问题】 编写计算斐波那契(Fibonacci)数列的第n项函数fib(n)。 g+v.rmX
斐波那契数列为:0、1、1、2、3、……,即: ) oypl+y
fib(0)=0; J]mG!# 9
fib(1)=1; YL[n85l>1
fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) (当n>1时)。 ^\"@r%|
写成递归函数有: L[s7q0 F`l
int fib(int n) +wPXDN#R
{ if (n==0) return 0; Sao4MkSz[]
if (n==1) return 1; }X|*+<
if (n>1) return fib(n-1)+fib(n-2); LZR
x>q^
} B:X,vE
递归算法的执行过程分递推和回归两个阶段。在递推阶段,把较复杂的问题(规模为n)的求解推到比原问题简单一些的问题(规模小于n)的求解。例如上例中,求解fib(n),把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是说,为计算fib(n),必须先计算fib(n-1)和fib(n-2),而计算fib(n-1)和fib(n-2),又必须先计算fib(n-3)和fib(n-4)。依次类推,直至计算fib(1)和fib(0),分别能立即得到结果1和0。在递推阶段,必须要有终止递归的情况。例如在函数fib中,当n为1和0的情况。 rm}%C(C{J
在回归阶段,当获得最简单情况的解后,逐级返回,依次得到稍复杂问题的解,例如得到fib(1)和fib(0)后,返回得到fib(2)的结果,……,在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的结果后,返回得到fib(n)的结果。 rg5ZxN|g
在编写递归函数时要注意,函数中的局部变量和参数知识局限于当前调用层,当递推进入“简单问题”层时,原来层次上的参数和局部变量便被隐蔽起来。在一系列“简单问题”层,它们各有自己的参数和局部变量。 h&|PHI
由于递归引起一系列的函数调用,并且可能会有一系列的重复计算,递归算法的执行效率相对较低。当某个递归算法能较方便地转换成递推算法时,通常按递推算法编写程序。例如上例计算斐波那契数列的第n项的函数fib(n)应采用递推算法,即从斐波那契数列的前两项出发,逐次由前两项计算出下一项,直至计算出要求的第n项。 :o"9x,
【问题】 组合问题 .Tm m
问题描述:找出从自然数1、2、……、n中任取r个数的所有组合。例如n=5,r=3的所有组合为: (1)5、4、3 (2)5、4、2 (3)5、4、1 :)*+aS"
(4)5、3、2 (5)5、3、1 (6)5、2、1 ,;D$d#\"
(7)4、3、2 (8)4、3、1 (9)4、2、1 C
srxi'Pe
(10)3、2、1 a*kvU "]
分析所列的10个组合,可以采用这样的递归思想来考虑求组合函数的算法。设函数为void comb(int m,int k)为找出从自然数1、2、……、m中任取k个数的所有组合。当组合的第一个数字选定时,其后的数字是从余下的m-1个数中取k-1数的组合。这就将求m个数中取k个数的组合问题转化成求m-1个数中取k-1个数的组合问题。设函数引入工作数组a[ ]存放求出的组合的数字,约定函数将确定的k个数字组合的第一个数字放在a[k]中,当一个组合求出后,才将a[ ]中的一个组合输出。第一个数可以是m、m-1、……、k,函数将确定组合的第一个数字放入数组后,有两种可能的选择,因还未去顶组合的其余元素,继续递归去确定;或因已确定了组合的全部元素,输出这个组合。细节见以下程序中的函数comb。 vw
【程序】 y]U]b G{
# include <stdio.h> 4-r5C5o,W
# define MAXN 100 _/c1b>kcso
int a[MAXN]; NNgpDL*
void comb(int m,int k) '((pW
{ int i,j; x9!3i{_
for (i=m;i>=k;i--) 4AWL::FU5
{ a[k]=i; )hy(0 D
if (k>1) d!P3<:+R[
comb(i-1,k-1); uyqu n@q
else 93[&'
{ for (j=a[0];j>0;j--) "ZYdJHM
printf(“%4d”,a[j]); ~[@gu,Wb
printf(“\n”); UFSbu5 j
} h<0&|s*a)
} oE.59dx
} qP k`e}D
=F<bAZ
void main() G4;5$YGG
{ a[0]=3; P]^BE;7T
comb(5,3); EGMIw?%Y`-
} 7cQFH@SC
【问题】 背包问题 k[Ue}L|
问题描述:有不同价值、不同重量的物品n件,求从这n件物品中选取一部分物品的选择方案,使选中物品的总重量不超过指定的限制重量,但选中物品的价值之和最大。 oniVC',
设n件物品的重量分别为w0、w1、…、wn-1,物品的价值分别为v0、v1、…、vn-1。采用递归寻找物品的选择方案。设前面已有了多种选择的方案,并保留了其中总价值最大的方案于数组option[ ],该方案的总价值存于变量maxv。当前正在考察新方案,其物品选择情况保存于数组cop[ ]。假定当前方案已考虑了前i-1件物品,现在要考虑第i件物品;当前方案已包含的物品的重量之和为tw;至此,若其余物品都选择是可能的话,本方案能达到的总价值的期望值为tv。算法引入tv是当一旦当前方案的总价值的期望值也小于前面方案的总价值maxv时,继续考察当前方案变成无意义的工作,应终止当前方案,立即去考察下一个方案。因为当方案的总价值不比maxv大时,该方案不会被再考察,这同时保证函数后找到的方案一定会比前面的方案更好。 "p@EY|Zv%I
对于第i件物品的选择考虑有两种可能: "tF#]iQQ
u
(1) 考虑物品i被选择,这种可能性仅当包含它不会超过方案总重量限制时才是可行的。选中后,继续递归去考虑其余物品的选择。 q]2t3aY%
(2) 考虑物品i不被选择,这种可能性仅当不包含物品i也有可能会找到价值更大的方案的情况。 8\VP)<<
按以上思想写出递归算法如下: 7.y35y
try(物品i,当前选择已达到的重量和,本方案可能达到的总价值tv) sS{!z@\Lf
{ /*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/ 4K(oOxc9.
if(包含物品i是可以接受的) %y|L'C,ge"
{ 将物品i包含在当前方案中; Ys@OgdS@:
if (i<n-1) g-LMct8$
try(i+1,tw+物品i的重量,tv); )&{<gyS1
else +l27y0>t
/*又一个完整方案,因为它比前面的方案好,以它作为最佳方案*/ 93VbB[w~7F
以当前方案作为临时最佳方案保存; csjCXT=Ve
恢复物品i不包含状态; P
y!$r
} S
Rb-eDk'
/*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/ ;k:17&:8ue
if (不包含物品i仅是可男考虑的) :*I='M9B
if (i<n-1) @L ,4JPk
try(i+1,tw,tv-物品i的价值); 91\Sb:>
else wx*03(|j;
/*又一个完整方案,因它比前面的方案好,以它作为最佳方案*/ q}|_]R_y
以当前方案作为临时最佳方案保存; 5V*R
Dh
} kyH0J[/n
为了理解上述算法,特举以下实例。设有4件物品,它们的重量和价值见表: `lcQ
Yd<,4
物品 0 1 2 3 I~F]e|Ehqr
重量 5 3 2 1 XGb*LY+Db6
价值 4 4 3 1 @j<Q2z^
!~Ptnr`;
并设限制重量为7。则按以上算法,下图表示找解过程。由图知,一旦找到一个解,算法就进一步找更好的佳。如能判定某个查找分支不会找到更好的解,算法不会在该分支继续查找,而是立即终止该分支,并去考察下一个分支。 7e:eL5f>~
uGpLh0
按上述算法编写函数和程序如下: 1c|{<dFm
【程序】 Y[0mTL4IO
# include <stdio.h> 0.kC|
# define N 100 xnOd$]
double limitW,totV,maxV; $1y8X K7r
int option[N],cop[N]; n{I1ZlEeh
struct { double weight; }2hU7YWt
double value; {BY(zsl
}a[N]; 8ByNaXMO6
int n; xzXNcQ
void find(int i,double tw,double tv) 8?hZ5QvA(j
{ int k; a0&L,7mu<'
/*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/ Ou`;HN;[
if (tw+a.weight<=limitW) "&C>=
{ cop=1; 7.kgQ"?&
if (i<n-1) find(i+1,tw+a.weight,tv); 12@Ge]
else g(C/J9J
{ for (k=0;k<n;k++) .hRtQU
option[k]=cop[k]; ws<pBC,m
maxv=tv; }g&
KT!r
} N~ajrv}kd
cop=0; RiZ)#0
} mwutv8?
/*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/ ${e5Ka
if (tv-a.value>maxV) 2cjbb kq
if (i<n-1) find(i+1,tw,tv-a.value); yqC158 P
else ojyP.R
{ for (k=0;k<n;k++) /r8sL)D+
option[k]=cop[k]; >Cam6LJ
maxv=tv-a.value; h_Ssm{C\
} +4+czfz
} pVM1%n:#
&b'{3o_KN
void main() [A'e7Do%'
{ int k; pfR~?jYzm
double w,v; =zTpDL
printf(“输入物品种数\n”); \5-Dp9vG
scanf((“%d”,&n); \opcn\vW
printf(“输入各物品的重量和价值\n”); ;ojJXH~$}
for (totv=0.0,k=0;k<n;k++) {v"Y!/
[z
{ scanf(“%1f%1f”,&w,&v); y;%\w-.\
a[k].weight=w; m%nRHT0KAf
a[k].value=v; < lUpvr
totV+=V; /9,y+"0SQz
} wq|7sk{
printf(“输入限制重量\n”); 2FY]o~@
scanf(“%1f”,&limitV); FNs$k=*8
maxv=0.0; r$<M*z5q(\
for (k=0;k<n;k++) cop[k]=0; _gEojuaN
find(0,0.0,totV); ;oO_5[,M
for (k=0;k<n;k++) >S8
n8U
if (option[k]) printf(“%4d”,k+1); =b8u8*ua
printf(“\n总价值为%.2f\n”,maxv); [{>3"XJ'
}
h;@>E:4Tg
作为对比,下面以同样的解题思想,考虑非递归的程序解。为了提高找解速度,程序不是简单地逐一生成所有候选解,而是从每个物品对候选解的影响来形成值得进一步考虑的候选解,一个候选解是通过依次考察每个物品形成的。对物品i的考察有这样几种情况:当该物品被包含在候选解中依旧满足解的总重量的限制,该物品被包含在候选解中是应该继续考虑的;反之,该物品不应该包括在当前正在形成的候选解中。同样地,仅当物品不被包括在候选解中,还是有可能找到比目前临时最佳解更好的候选解时,才去考虑该物品不被包括在候选解中;反之,该物品不包括在当前候选解中的方案也不应继续考虑。对于任一值得继续考虑的方案,程序就去进一步考虑下一个物品。 #ro$$I;
【程序】 <\$?.tTZ{
# include <stdio.h> $wyPGok
# define N 100 P4LiU2C
double limitW; DXFDs=u
int cop[N]; ,g4T>7`&U%
struct ele { double weight; Dk&(QajL
double value; RY3=UeoF
} a[N]; ?mF:L"i
int k,n; I%($,kd}s
struct { int flg; }=JSd@`_
double tw; F'"-aB ~
double tv; KE~.f(
}twv[N]; T`,G57-5
void next(int i,double tw,double tv) 'V8o["P
{ twv.flg=1; i'10qWz
twv.tw=tw; 8kC$Z )
twv.tv=tv; 4`ZoAr-5|
} a^\F9^j
double find(struct ele *a,int n) @
'c(q=K;
{ int i,k,f; A-d<[@d0
double maxv,tw,tv,totv; G$luGxl[
maxv=0; gvPHB+#A
for (totv=0.0,k=0;k<n;k++) (XlvPcTi
totv+=a[k].value; BS?i!Bm 7
next(0,0.0,totv); Anqt:(
i=0; <FAbImE}
While (i>=0) 45x4JG
{ f=twv.flg; Spu;
tw=twv.tw; <WnIJum
tv=twv.tv; 9I`0`o"A
switch(f) ^6Zx-Mf\
{ case 1: twv.flg++; }gFa9M<
if (tw+a.weight<=limitW) }@/Ox
if (i<n-1) @' %XdH
{ next(i+1,tw+a.weight,tv); ;JgSA&'e
i++; OH@gwC
} >DbG
)0|
else wkx #WC
{ maxv=tv; ,% 'r:@'
for (k=0;k<n;k++) =[[I<[BZq
cop[k]=twv[k].flg!=0; ,9"du
} \gK'g-)}
break; x>,wmk5)
case 0: i--; P: L6Zo-J
break; :4x6dYNU
default: twv.flg=0; xi4b;U j
if (tv-a.value>maxv) $=#Lf[|f=
if (i<n-1) P.g./8N`z
{ next(i+1,tw,tv-a.value); 65VTKlDD
i++; qrjSG%i~J7
} <%W&xk
else vO53?vN[m9
{ maxv=tv-a.value; L_|iQwU%
for (k=0;k<n;k++) |`kkmq
cop[k]=twv[k].flg!=0; >|gXE>
} 4E}Q<?UYSt
break; -e?n4YO*\
} t;0]d7ey'
} )~S`[jV5
return maxv; f}KV4'n
} 1HqN`])l/j
C-@M|K9A'
void main() S6C DK:
{ double maxv; m6H+4@Z-;(
printf(“输入物品种数\n”); fZS'e{V
scanf((“%d”,&n); |}:q@]dC#
printf(“输入限制重量\n”); 7/fJQM
scanf(“%1f”,&limitW); Os].
IL$
printf(“输入各物品的重量和价值\n”); %KN2iNq
for (k=0;k<n;k++) 0LP0q9S:9
scanf(“%1f%1f”,&a[k].weight,&a[k].value); :;hm^m]Y
maxv=find(a,n); {zc*yV\
printf(“\n选中的物品为\n”); 8Fbt >-N<\
for (k=0;k<n;k++) cVarvueS
if (option[k]) printf(“%4d”,k+1); SOMAs'=
printf(“\n总价值为%.2f\n”,maxv); k8SY=HP
}