六、贪婪法 #^ &j W
#
4|9Fj??
贪婪法是一种不追求最优解，只希望得到较为满意解的方法。贪婪法一般可以快速得到满意的解，因为它省去了为找最优解要穷尽所有可能而必须耗费的大量时间。贪婪法常以当前情况为基础作最优选择，而不考虑各种可能的整体情况，所以贪婪法不要回溯。 Y'Z+, CNf
例如平时购物找钱时，为使找回的零钱的硬币数最少，不考虑找零钱的所有各种发表方案，而是从最大面值的币种开始，按递减的顺序考虑各币种，先尽量用大面值的币种，当不足大面值币种的金额时才去考虑下一种较小面值的币种。这就是在使用贪婪法。这种方法在这里总是最优，是因为银行对其发行的硬币种类和硬币面值的巧妙安排。如只有面值分别为1、5和11单位的硬币，而希望找回总额为15单位的硬币。按贪婪算法，应找1个11单位面值的硬币和4个1单位面值的硬币，共找回5个硬币。但最优的解应是3个5单位面值的硬币。 OK`Z@X_,bW
【问题】 装箱问题 Jb p5'e
_
问题描述：装箱问题可简述如下：设有编号为0、1、…、n-1的n种物品，体积分别为v0、v1、…、vn-1。将这n种物品装到容量都为V的若干箱子里。约定这n种物品的体积均不超过V，即对于0≤i＜n，有0＜vi≤V。不同的装箱方案所需要的箱子数目可能不同。装箱问题要求使装尽这n种物品的箱子数要少。 .h;Se
若考察将n种物品的集合分划成n个或小于n个物品的所有子集，最优解就可以找到。但所有可能划分的总数太大。对适当大的n，找出所有可能的划分要花费的时间是无法承受的。为此，对装箱问题采用非常简单的近似算法，即贪婪法。该算法依次将物品放到它第一个能放进去的箱子中，该算法虽不能保证找到最优解，但还是能找到非常好的解。不失一般性，设n件物品的体积是按从大到小排好序的，即有v0≥v1≥…≥vn-1。如不满足上述要求，只要先对这n件物品按它们的体积从大到小排序，然后按排序结果对物品重新编号即可。装箱算法简单描述如下： RP (/x+V
{ 输入箱子的容积； c Cxi{a1uo
输入物品种数n； {@r*+~C3
按体积从大到小顺序，输入各物品的体积； C%ytkzG_
预置已用箱子链为空； ~F#A
Pt
预置已用箱子计数器box_count为0； [.q(h/b
for (i=0;i<n;i++) 135vZ:S
{ 从已用的第一只箱子开始顺序寻找能放入物品i 的箱子j； (:Cc3
if （已用箱子都不能再放物品i） ggou*;'
{ 另用一个箱子，并将物品i放入该箱子； rF'R >/H
box_count++； l_v*7d
} M^H90GN)X
else v_sm
将物品i放入箱子j； _2jw,WKr
} DMkhbo&+
} fQQ |gwVki
上述算法能求出需要的箱子数box_count，并能求出各箱子所装物品。下面的例子说明该算法不一定能找到最优解，设有6种物品，它们的体积分别为：60、45、35、20、20和20单位体积，箱子的容积为100个单位体积。按上述算法计算，需三只箱子，各箱子所装物品分别为：第一只箱子装物品1、3；第二只箱子装物品2、4、5；第三只箱子装物品6。而最优解为两只箱子，分别装物品1、4、5和2、3、6。 ARx0zI%N
若每只箱子所装物品用链表来表示，链表首结点指针存于一个结构中，结构记录尚剩余的空间量和该箱子所装物品链表的首指针。另将全部箱子的信息也构成链表。以下是按以上算法编写的程序。 i<u9:W
【程序】 V_;9TC
# include <stdio.h> 8Z:Ezg3^
# include <stdlib.h> O 3!d(dY=_
typedef struct ele
H4skvIl
{ int vno; s#lto0b"8
struct ele *link; PV,"-Nv ,
} ELE; g 2'x#%ET
typedef struct hnode k, X74D+
{ int remainder; lA{(8sKN
ELE *head; 8^w/HCC8O
Struct hnode *next; 5.k}{{+
} HNODE; wZv-b*4
;i 9>}]6
void main() Bn-J_-%M
{ int n, i, box_count, box_volume, *a; 1D$:: {h
HNODE *box_h, *box_t, *j; ~ Oh=
ELE *p, *q; d~<QAh#rG
Printf(“输入箱子容积\n”); g9qC{x d
Scanf(“%d”,&box_volume); q2!'==h2i
Printf(“输入物品种数\n”); <9\,Q R)
Scanf(“%d”,&n); E!@/N E\-
A=(int *)malloc(sizeof(int)*n); hw DXm9
Printf(“请按体积从大到小顺序输入各物品的体积：”); S$K}v,8.sr
For (i=0;i<n;i++) scanf(“%d”,a+i); kr{)
Box_h=box_t=NULL; ]-KV0H
Box_count=0; !
o^Ic`FhS
For (i=0;i<n;i++) \ 522,n`
{ p=(ELE *)malloc(sizeof(ELE)); va>"#;37
p->vno=i; =z-5
for (j=box_h;j!=NULL;j=j->next) \c68n
if (j->remainder>=a) break; &9@gm --b:
if (j==NULL) (+x]##Q
{ j=(HNODE *)malloc(sizeof(HNODE)); ^5>du~d
j->remainder=box_volume-a; 7(@(Hm
j->head=NULL; hpj UkGm5
if (box_h==NULL) box_h=box_t=j; *N'hA5.z
else box_t=boix_t->next=j; u0'i!@795
j->next=NULL; !^1[ s@1
box_count++; Oh-Fp-v87
} -s89)lUkS
else j->remainder-=a; lJ'trYaq7
for (q=j->next;q!=NULL&&q->link!=NULL;q=q->link); t] r7cA
if (q==NULL) QnP{$rT
{ p->link=j->head; blmmm(|~|
j->head=p;
Lxz
} s~)L_ p
else e^ Aa!
{ p->link=NULL; +.wT
9kFcc
q->link=p; 0&Qsk!-B
} `>\4 "`I
} T|!D>l'
printf(“共使用了%d只箱子”，box_count); ret0z |
printf(“各箱子装物品情况如下：”); /_HwifRQ
for (j=box_h,i=1;j!=NULL;j=j->next,i++) n3*UgNg%fK
{ printf(“第%2d只箱子，还剩余容积%4d，所装物品有；\n”,I,j->remainder); 9 ='=-;@/5
for (p=j->head;p!=NULL;p=p->link) -$OD }5ku#
printf(“%4d”,p->vno+1); PlF!cr7:4
printf(“\n”); ^IYJEqK
} n'ehB%"
} 0FTRm2(
【问题】 马的遍历 ;C+cE#
问题描述：在8×8方格的棋盘上，从任意指定的方格出发，为马寻找一条走遍棋盘每一格并且只经过一次的一条路径。 9E^~#j@Zr
马在某个方格，可以在一步内到达的不同位置最多有8个，如图所示。如用二维数组board[ ][ ]表示棋盘，其元素记录马经过该位置时的步骤号。另对马的8种可能走法（称为着法）设定一个顺序，如当前位置在棋盘的（i，j）方格，下一个可能的位置依次为（i+2，j+1）、（i+1，j+2）、（i-1，j+2）、（i-2，j+1）、（i-2，j-1）、（i-1，j-2）、（i+1，j-2）、（i+2，j-1），实际可以走的位置尽限于还未走过的和不越出边界的那些位置。为便于程序的同意处理，可以引入两个数组，分别存储各种可能走法对当前位置的纵横增量。 :cEd [Jm9
4 3 t1 8UDR{
5 2 6hLNJ
马 kAY@^vi
6 1 xkF$D:s P
7 0 _IC,9bbg
u >81dO]H
对于本题，一般可以采用回溯法，这里采用Warnsdoff策略求解，这也是一种贪婪法，其选择下一出口的贪婪标准是在那些允许走的位置中，选择出口最少的那个位置。如马的当前位置（i，j）只有三个出口，他们是位置（i+2，j+1）、（i-2，j+1）和（i-1，j-2），如分别走到这些位置，这三个位置又分别会有不同的出口，假定这三个位置的出口个数分别为4、2、3，则程序就选择让马走向（i-2，j+1）位置。 tK*%8I\s
由于程序采用的是一种贪婪法，整个找解过程是一直向前，没有回溯，所以能非常快地找到解。但是，对于某些开始位置，实际上有解，而该算法不能找到解。对于找不到解的情况，程序只要改变8种可能出口的选择顺序，就能找到解。改变出口选择顺序，就是改变有相同出口时的选择标准。以下程序考虑到这种情况，引入变量start，用于控制8种可能着法的选择顺序。开始时为0，当不能找到解时，就让start增1，重新找解。细节以下程序。 ZU )BJ!L,s
【程序】 //~POm
# include <stdio.h> bd} r#^'K
int delta_i[ ]={2,1,-1,-2,-2,-1,1,2}; vJ ~4D*(]l
int delta_j[ ]={1,2,2,1,-1,-2,-2,-1}; 4 |FRg
int board[8][8]; _k6x=V;9g
int exitn(int i,int j,int s,int a[ ]) T=^jCH &
{ int i1,j1,k,count; E]\D>[0O
for (count=k=0;k<8;k++) hx*HY%\P
{ i1=i+delta_i[(s+k)%8];
E!dz/.
j1=i+delta_j[(s+k)%8]; mVa?aWpez
if (i1>=0&&i1<8&&j1>=0&&j1<8&&board[I1][j1]==0) ,Y$F7&
a[count++]=(s+k)%8; D&4u63^
} %)BwE
return count; Tt{U"EFO
} &$<(D0
U)u\1AV5
int next(int i,int j,int s) Po'-z<}wS
{ int m,k,mm,min,a[8],b[8],temp; u)tHOV>&
m=exitn(i,j,s,a); >g>f;\mD7$
if (m==0) return –1; umZlIH[7
for (min=9,k=0;k<m;k++) lTx Y6vi
{ temp=exitn(I+delta_i[a[k]],j+delta_j[a[k]],s,b); i/ 5 y^
if (temp<min) C(EYM$
{ min=temp; .=> \Qq%
kk=a[k]; : : F!
} $dlnmNP+
} jK\V|5k
return kk; AF6d#Klog
} M4zX*&w.T
u(8 _[/_B
void main() x1 .3W j
{ int sx,sy,i,j,step,no,start; c_@XQ&DC`
for (sx=0;sx<8;sx++) -Pqi1pj]
for (sy=0;sy<8;sy++) 6W)x j6<@
{ start=0; I++W0wa.n
do { }%-UL{3%
for (i=0;i<8;i++) X*Tu Q\T
for (j=0;j<8;j++) tn"Y9
k|
board[j]=0; jz{(q;
board[sx][sy]=1; kb/| ;!
I=sx; j=sy; AeNyZ[40T
For (step=2;step<64;step++) A6{t%k~F
{ if ((no=next(i,j,start))==-1) break; @/CRIei
I+=delta_i[no]; aeG#:
Ln+{
j+=delta_j[no]; % MfGVx}nG
board[j]=step; cEDDO&u
} "WF(
6z#
if (step>64) break; 2(c<U6#C'l
start++; X)`(nj
} while(step<=64) mtSNl|O &{
for (i=0;i<8;i++) (Wm/$P;
{ for (j=0;j<8;j++) 2"pE&QNd
printf(“%4d”,board[j]); 9F2 P(aS
printf(“\n\n”); c*y$bf<
} p<Zs*
@
scanf(“%*c”); l(h;e&9x
} xT_fr,P
}
