四、递归 LL:N/1ysG
8u[.s`^
递归是设计和描述算法的一种有力的工具,由于它在复杂算法的描述中被经常采用,为此在进一步介绍其他算法设计方法之前先讨论它。 71Q`B#t0'Z
能采用递归描述的算法通常有这样的特征:为求解规模为N的问题,设法将它分解成规模较小的问题,然后从这些小问题的解方便地构造出大问题的解,并且这些规模较小的问题也能采用同样的分解和综合方法,分解成规模更小的问题,并从这些更小问题的解构造出规模较大问题的解。特别地,当规模N=1时,能直接得解。 mn1!A`$
【问题】 编写计算斐波那契(Fibonacci)数列的第n项函数fib(n)。 t`&mszd~T
斐波那契数列为:0、1、1、2、3、……,即: s7E %Et
fib(0)=0; si%V63 ^lN
fib(1)=1; `&a8Wv
fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) (当n>1时)。 aU +uPP
写成递归函数有: m?Jnb\0
int fib(int n) =WCE "X
{ if (n==0) return 0; z1RHdu0;z
if (n==1) return 1;
L9hL@
if (n>1) return fib(n-1)+fib(n-2); _j$V[=kdM/
} X%!?\3S
递归算法的执行过程分递推和回归两个阶段。在递推阶段,把较复杂的问题(规模为n)的求解推到比原问题简单一些的问题(规模小于n)的求解。例如上例中,求解fib(n),把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是说,为计算fib(n),必须先计算fib(n-1)和fib(n-2),而计算fib(n-1)和fib(n-2),又必须先计算fib(n-3)和fib(n-4)。依次类推,直至计算fib(1)和fib(0),分别能立即得到结果1和0。在递推阶段,必须要有终止递归的情况。例如在函数fib中,当n为1和0的情况。 ?>=vKU5
在回归阶段,当获得最简单情况的解后,逐级返回,依次得到稍复杂问题的解,例如得到fib(1)和fib(0)后,返回得到fib(2)的结果,……,在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的结果后,返回得到fib(n)的结果。 OvdBUcp[
在编写递归函数时要注意,函数中的局部变量和参数知识局限于当前调用层,当递推进入“简单问题”层时,原来层次上的参数和局部变量便被隐蔽起来。在一系列“简单问题”层,它们各有自己的参数和局部变量。 +:#g6(P]
由于递归引起一系列的函数调用,并且可能会有一系列的重复计算,递归算法的执行效率相对较低。当某个递归算法能较方便地转换成递推算法时,通常按递推算法编写程序。例如上例计算斐波那契数列的第n项的函数fib(n)应采用递推算法,即从斐波那契数列的前两项出发,逐次由前两项计算出下一项,直至计算出要求的第n项。 BB,-HhYT0
【问题】 组合问题 #\F8(lZ
问题描述:找出从自然数1、2、……、n中任取r个数的所有组合。例如n=5,r=3的所有组合为: (1)5、4、3 (2)5、4、2 (3)5、4、1 9[{q5
(4)5、3、2 (5)5、3、1 (6)5、2、1 =S^ vIo)
(7)4、3、2 (8)4、3、1 (9)4、2、1 kdA]gpdw
(10)3、2、1 Z^F>sUMR
分析所列的10个组合,可以采用这样的递归思想来考虑求组合函数的算法。设函数为void comb(int m,int k)为找出从自然数1、2、……、m中任取k个数的所有组合。当组合的第一个数字选定时,其后的数字是从余下的m-1个数中取k-1数的组合。这就将求m个数中取k个数的组合问题转化成求m-1个数中取k-1个数的组合问题。设函数引入工作数组a[ ]存放求出的组合的数字,约定函数将确定的k个数字组合的第一个数字放在a[k]中,当一个组合求出后,才将a[ ]中的一个组合输出。第一个数可以是m、m-1、……、k,函数将确定组合的第一个数字放入数组后,有两种可能的选择,因还未去顶组合的其余元素,继续递归去确定;或因已确定了组合的全部元素,输出这个组合。细节见以下程序中的函数comb。 tm34Z''.>
【程序】 mFpj@=^_G
# include <stdio.h> y54RD/`-
# define MAXN 100 -[=@'NP
int a[MAXN]; LUx'Dm"
void comb(int m,int k) T}p|_)&y
{ int i,j; VKXB)-'L
for (i=m;i>=k;i--) L(y~
,Kc
{ a[k]=i; HE4S%#bH>
if (k>1) Qc9[/4R>
comb(i-1,k-1); mV7_O//
else :'H}b*VWx
{ for (j=a[0];j>0;j--) -K^(L#G
printf(“%4d”,a[j]); muK)Yw[#N
printf(“\n”); UWCm:eRQ
} oPAc6ObOV~
} -uAGG?ZER
} M+=q"#&
dg N#"
void main() Odt<WG
{ a[0]=3; kYS\TMt,C
comb(5,3); u 8~5e
} l 9rN!Q|
【问题】 背包问题 >Y3zO 2Cr
问题描述:有不同价值、不同重量的物品n件,求从这n件物品中选取一部分物品的选择方案,使选中物品的总重量不超过指定的限制重量,但选中物品的价值之和最大。 PwAmnk !
设n件物品的重量分别为w0、w1、…、wn-1,物品的价值分别为v0、v1、…、vn-1。采用递归寻找物品的选择方案。设前面已有了多种选择的方案,并保留了其中总价值最大的方案于数组option[ ],该方案的总价值存于变量maxv。当前正在考察新方案,其物品选择情况保存于数组cop[ ]。假定当前方案已考虑了前i-1件物品,现在要考虑第i件物品;当前方案已包含的物品的重量之和为tw;至此,若其余物品都选择是可能的话,本方案能达到的总价值的期望值为tv。算法引入tv是当一旦当前方案的总价值的期望值也小于前面方案的总价值maxv时,继续考察当前方案变成无意义的工作,应终止当前方案,立即去考察下一个方案。因为当方案的总价值不比maxv大时,该方案不会被再考察,这同时保证函数后找到的方案一定会比前面的方案更好。 Mv%B#J
对于第i件物品的选择考虑有两种可能: A[88IMZs
(1) 考虑物品i被选择,这种可能性仅当包含它不会超过方案总重量限制时才是可行的。选中后,继续递归去考虑其余物品的选择。 0,LUi*10
(2) 考虑物品i不被选择,这种可能性仅当不包含物品i也有可能会找到价值更大的方案的情况。 8r.MODZG/
按以上思想写出递归算法如下: F
j"]C.6B.
try(物品i,当前选择已达到的重量和,本方案可能达到的总价值tv) $iy(+}
{ /*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/ 6>d3*
if(包含物品i是可以接受的) '~6l
6wi
{ 将物品i包含在当前方案中; SZgan
if (i<n-1) ^3&-!<*
try(i+1,tw+物品i的重量,tv); 0"@p|nAa
else .}tpEvAw}
/*又一个完整方案,因为它比前面的方案好,以它作为最佳方案*/ a- /p/
I-%
以当前方案作为临时最佳方案保存; n 8|
恢复物品i不包含状态; %eu_Pr 6X
} e+MsFXnB8
/*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/ .fzns20u
if (不包含物品i仅是可男考虑的) +zFEx%3^
if (i<n-1) toox`|
try(i+1,tw,tv-物品i的价值); Im`R2_(]
else ~r]$(V n
/*又一个完整方案,因它比前面的方案好,以它作为最佳方案*/ >&qaT*_g
以当前方案作为临时最佳方案保存; 3A b_Z
} /P{'nI
为了理解上述算法,特举以下实例。设有4件物品,它们的重量和价值见表: 0pe*DbYP5
物品 0 1 2 3 3t ]0
重量 5 3 2 1 s[*I210
价值 4 4 3 1 3V/|" R2s
y*sqnzgF
并设限制重量为7。则按以上算法,下图表示找解过程。由图知,一旦找到一个解,算法就进一步找更好的佳。如能判定某个查找分支不会找到更好的解,算法不会在该分支继续查找,而是立即终止该分支,并去考察下一个分支。 \?k"AtL
tUFXx\p
按上述算法编写函数和程序如下: "FfP&lF/
【程序】 <,'^dR7,
# include <stdio.h> j62oA$z
# define N 100 `MMZR=LA
double limitW,totV,maxV; <daBP[
int option[N],cop[N]; sr.!EQ ]
struct { double weight; ^6^A/]v
double value; B{_-k
}a[N]; A%#."2vq~
int n; Bv=:F5hLG
void find(int i,double tw,double tv) *5'l"YQ@1
{ int k; Su`]
ku'
/*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/ t9kqX(!
if (tw+a.weight<=limitW) <C7/b#4>\
{ cop=1; m3b?f B
if (i<n-1) find(i+1,tw+a.weight,tv); 1b"3]?
else }l@7t&T|
{ for (k=0;k<n;k++) 3n TpL#
option[k]=cop[k]; =hKu85
maxv=tv; g>Kh? (
} cNuBWLG
cop=0; cA
B^]j
} ZP7wS
/*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/ `l}r&z(8
if (tv-a.value>maxV) K}Pi"Le@W
if (i<n-1) find(i+1,tw,tv-a.value); 0bMbM^xV6
else T+<OlXpL
{ for (k=0;k<n;k++) kv3V|
option[k]=cop[k]; &uv7`VT
maxv=tv-a.value; >:U{o!N`#_
} Nxt z1
} W#[3a4%m
Fm.IRu<\`
void main() Z|Xv_Xo|4
{ int k; xXc3#n
double w,v; ,HO@bCK
printf(“输入物品种数\n”); vn=0=(
scanf((“%d”,&n); <3aW3i/jTc
printf(“输入各物品的重量和价值\n”); X1~ B
for (totv=0.0,k=0;k<n;k++) a{8g9a4
{ scanf(“%1f%1f”,&w,&v); 8U&93$
a[k].weight=w; x\XOtjJr
a[k].value=v; 0Z~G:$O/i
totV+=V; y <21~g=
} EY
9N{
printf(“输入限制重量\n”); ,1-#Z"~c
scanf(“%1f”,&limitV); h7W<$\P
maxv=0.0; B6a
for (k=0;k<n;k++) cop[k]=0; ,!g%`@u
find(0,0.0,totV); <)9E .h
for (k=0;k<n;k++) mMV-IL
if (option[k]) printf(“%4d”,k+1); Q|J$R
printf(“\n总价值为%.2f\n”,maxv); f<~S0[H
} H;eOrX{GT
作为对比,下面以同样的解题思想,考虑非递归的程序解。为了提高找解速度,程序不是简单地逐一生成所有候选解,而是从每个物品对候选解的影响来形成值得进一步考虑的候选解,一个候选解是通过依次考察每个物品形成的。对物品i的考察有这样几种情况:当该物品被包含在候选解中依旧满足解的总重量的限制,该物品被包含在候选解中是应该继续考虑的;反之,该物品不应该包括在当前正在形成的候选解中。同样地,仅当物品不被包括在候选解中,还是有可能找到比目前临时最佳解更好的候选解时,才去考虑该物品不被包括在候选解中;反之,该物品不包括在当前候选解中的方案也不应继续考虑。对于任一值得继续考虑的方案,程序就去进一步考虑下一个物品。 VYN1^Tp
【程序】 cn!Y7LVr
# include <stdio.h> k7Z1Y!n7
# define N 100 T$;N8x[
double limitW; Lv?e[GA
int cop[N]; |yow(2(F@
struct ele { double weight; vErlh:~e
double value; (|<.7K N
} a[N]; %]i("21
int k,n; 6*H F`@(
struct { int flg; -{XXU )Z
double tw; t{)J#8:g
double tv; x?B 8b-*
}twv[N]; 14v,z;HXj
void next(int i,double tw,double tv) :.M"M$MRp8
{ twv.flg=1; L>EC^2\
twv.tw=tw; UA}oOteG
twv.tv=tv; }PDNW
} j;']L}R
double find(struct ele *a,int n) *aF<#m v
{ int i,k,f; "ewB4F[
double maxv,tw,tv,totv; hd}"%9p
maxv=0; ;ywQk| r
for (totv=0.0,k=0;k<n;k++) e:
totv+=a[k].value; c);(+b
next(0,0.0,totv); x
p#+{}
i=0; M _z-~G
While (i>=0) yr
/p3ys
{ f=twv.flg; ;tF7GjEp
tw=twv.tw; E|Lv_4lb=
tv=twv.tv; wz P")}[0
switch(f) ]+B#SIC;
{ case 1: twv.flg++; jci'q=Vpu
if (tw+a.weight<=limitW) GUyc1{6
if (i<n-1) &<P!o_+eb
{ next(i+1,tw+a.weight,tv); PiRbdl
i++; f`jRLo*L
} Nz&J&\X)tD
else R3$K[Lv,
{ maxv=tv; 2Xm\; 7
for (k=0;k<n;k++) 3' WS6B+
cop[k]=twv[k].flg!=0; rtz%(4aS
} X192Lar
break; =kspHP<k
case 0: i--; =y/VrF.bV
break; f&S,l3H<
default: twv.flg=0; h.6yI
if (tv-a.value>maxv) WlnI`!)d
if (i<n-1) *zy0,{bl
{ next(i+1,tw,tv-a.value); ,&sBa{0
i++; 9*%Uoy:
} ;,y9
else 46dh@&U
{ maxv=tv-a.value; EnrRnVB
for (k=0;k<n;k++) RJ%~=D
cop[k]=twv[k].flg!=0; 5UwaBPj4
} By8C-jD
break; ^L;`F
} (,E.1j]ji
} LV&tu7c
return maxv; ^6~CA
} #GYCU!
H!ZPP8]j>
void main() dOFxzk,g&R
{ double maxv; H5Rn.n( |
printf(“输入物品种数\n”); i>S
/W!F
scanf((“%d”,&n); : /9@p
printf(“输入限制重量\n”); xcz1(R
scanf(“%1f”,&limitW); D'>yu"
printf(“输入各物品的重量和价值\n”); $b#"Rv
for (k=0;k<n;k++) Zjt3U;Y
scanf(“%1f%1f”,&a[k].weight,&a[k].value); ~<pGiW'w5
maxv=find(a,n); 1X/
q7lR
printf(“\n选中的物品为\n”); {O6f1LuH
for (k=0;k<n;k++) oUm"qt_
if (option[k]) printf(“%4d”,k+1); WZ'3
printf(“\n总价值为%.2f\n”,maxv); m&OzT~?_>N
}