四、递归 =,w(D~ps
/_{B_2i/>
递归是设计和描述算法的一种有力的工具,由于它在复杂算法的描述中被经常采用,为此在进一步介绍其他算法设计方法之前先讨论它。 yNDplm|9*
能采用递归描述的算法通常有这样的特征:为求解规模为N的问题,设法将它分解成规模较小的问题,然后从这些小问题的解方便地构造出大问题的解,并且这些规模较小的问题也能采用同样的分解和综合方法,分解成规模更小的问题,并从这些更小问题的解构造出规模较大问题的解。特别地,当规模N=1时,能直接得解。 [#mRlL0yk
【问题】 编写计算斐波那契(Fibonacci)数列的第n项函数fib(n)。 (JI[y"2
斐波那契数列为:0、1、1、2、3、……,即: J)n^b
fib(0)=0; n~Qo@%Jr
fib(1)=1; .d;|iwl
fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) (当n>1时)。 }P*x/z~
写成递归函数有: kC8M2 |L
int fib(int n) )1iqM]~;B
{ if (n==0) return 0; rjWn>M
if (n==1) return 1; IDn$w^"
if (n>1) return fib(n-1)+fib(n-2); F`8B PWUY
} dW#T1mB
递归算法的执行过程分递推和回归两个阶段。在递推阶段,把较复杂的问题(规模为n)的求解推到比原问题简单一些的问题(规模小于n)的求解。例如上例中,求解fib(n),把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是说,为计算fib(n),必须先计算fib(n-1)和fib(n-2),而计算fib(n-1)和fib(n-2),又必须先计算fib(n-3)和fib(n-4)。依次类推,直至计算fib(1)和fib(0),分别能立即得到结果1和0。在递推阶段,必须要有终止递归的情况。例如在函数fib中,当n为1和0的情况。 5e|yW0o
在回归阶段,当获得最简单情况的解后,逐级返回,依次得到稍复杂问题的解,例如得到fib(1)和fib(0)后,返回得到fib(2)的结果,……,在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的结果后,返回得到fib(n)的结果。 W:S?_JM
在编写递归函数时要注意,函数中的局部变量和参数知识局限于当前调用层,当递推进入“简单问题”层时,原来层次上的参数和局部变量便被隐蔽起来。在一系列“简单问题”层,它们各有自己的参数和局部变量。 zkb[u"
由于递归引起一系列的函数调用,并且可能会有一系列的重复计算,递归算法的执行效率相对较低。当某个递归算法能较方便地转换成递推算法时,通常按递推算法编写程序。例如上例计算斐波那契数列的第n项的函数fib(n)应采用递推算法,即从斐波那契数列的前两项出发,逐次由前两项计算出下一项,直至计算出要求的第n项。 'MK"*W8QRM
【问题】 组合问题 -POsbb>
问题描述:找出从自然数1、2、……、n中任取r个数的所有组合。例如n=5,r=3的所有组合为: (1)5、4、3 (2)5、4、2 (3)5、4、1 eFXQ~~gOj
(4)5、3、2 (5)5、3、1 (6)5、2、1 \\9I:-j:p
(7)4、3、2 (8)4、3、1 (9)4、2、1 H7?Sd(U
(10)3、2、1 q<Z`<e
分析所列的10个组合,可以采用这样的递归思想来考虑求组合函数的算法。设函数为void comb(int m,int k)为找出从自然数1、2、……、m中任取k个数的所有组合。当组合的第一个数字选定时,其后的数字是从余下的m-1个数中取k-1数的组合。这就将求m个数中取k个数的组合问题转化成求m-1个数中取k-1个数的组合问题。设函数引入工作数组a[ ]存放求出的组合的数字,约定函数将确定的k个数字组合的第一个数字放在a[k]中,当一个组合求出后,才将a[ ]中的一个组合输出。第一个数可以是m、m-1、……、k,函数将确定组合的第一个数字放入数组后,有两种可能的选择,因还未去顶组合的其余元素,继续递归去确定;或因已确定了组合的全部元素,输出这个组合。细节见以下程序中的函数comb。 /#-zI#iK
【程序】 {NTMvJLm
# include <stdio.h> D&-cNxh
# define MAXN 100 ^SvGSxi
int a[MAXN]; }O+`X) 9
void comb(int m,int k) oa<%R8T?@
{ int i,j; G;he:Bf
for (i=m;i>=k;i--) h,@tfd U^
{ a[k]=i; hUP?r/B
if (k>1) H63?Erh>a
comb(i-1,k-1); F1GFn|OA
else p:?h)'bA<
{ for (j=a[0];j>0;j--) ./i5VBP5
printf(“%4d”,a[j]); `NB6Of*/
printf(“\n”); :D:Y-cG*n<
} F XG,DJ:
} @Pb%dS
} `;HZO8
{'NXJ!I;t
void main() ln*jak RrC
{ a[0]=3; \IX|{]*D
comb(5,3); PTP0 _|K
} =Ohro'
【问题】 背包问题 T o$D[-
问题描述:有不同价值、不同重量的物品n件,求从这n件物品中选取一部分物品的选择方案,使选中物品的总重量不超过指定的限制重量,但选中物品的价值之和最大。 vf0
fa46
设n件物品的重量分别为w0、w1、…、wn-1,物品的价值分别为v0、v1、…、vn-1。采用递归寻找物品的选择方案。设前面已有了多种选择的方案,并保留了其中总价值最大的方案于数组option[ ],该方案的总价值存于变量maxv。当前正在考察新方案,其物品选择情况保存于数组cop[ ]。假定当前方案已考虑了前i-1件物品,现在要考虑第i件物品;当前方案已包含的物品的重量之和为tw;至此,若其余物品都选择是可能的话,本方案能达到的总价值的期望值为tv。算法引入tv是当一旦当前方案的总价值的期望值也小于前面方案的总价值maxv时,继续考察当前方案变成无意义的工作,应终止当前方案,立即去考察下一个方案。因为当方案的总价值不比maxv大时,该方案不会被再考察,这同时保证函数后找到的方案一定会比前面的方案更好。 c@|f'V4
对于第i件物品的选择考虑有两种可能: )zAATBb4.
(1) 考虑物品i被选择,这种可能性仅当包含它不会超过方案总重量限制时才是可行的。选中后,继续递归去考虑其余物品的选择。 &hu3A)%
(2) 考虑物品i不被选择,这种可能性仅当不包含物品i也有可能会找到价值更大的方案的情况。 awU&{<,=g
按以上思想写出递归算法如下: <TEDqQ
try(物品i,当前选择已达到的重量和,本方案可能达到的总价值tv) n=A}X4^
{ /*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/ d
A>6
if(包含物品i是可以接受的) ',m!L@7M5
{ 将物品i包含在当前方案中; bR*}
s/
if (i<n-1) RXw }Tb/D8
try(i+1,tw+物品i的重量,tv); &|I{ju_
else -58Sb"f
/*又一个完整方案,因为它比前面的方案好,以它作为最佳方案*/ 1qm
_Qs&
以当前方案作为临时最佳方案保存; {xu~Dx
恢复物品i不包含状态; IylfMwLC
} &1FyauH
/*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/ 3DOc,}nI~@
if (不包含物品i仅是可男考虑的) bZ[ay-f6oK
if (i<n-1) 'b:UafV
try(i+1,tw,tv-物品i的价值); 4Hq6nT/
else [oG
Sy5bB
/*又一个完整方案,因它比前面的方案好,以它作为最佳方案*/ fRK=y+gl@
以当前方案作为临时最佳方案保存; }m93AL_y
} AsO)BeUD
为了理解上述算法,特举以下实例。设有4件物品,它们的重量和价值见表: 7bL48W<QD
物品 0 1 2 3 Q`!<2i;
重量 5 3 2 1 M,sZ8eeq
价值 4 4 3 1 \2[sUY<W
Vo(>K34
并设限制重量为7。则按以上算法,下图表示找解过程。由图知,一旦找到一个解,算法就进一步找更好的佳。如能判定某个查找分支不会找到更好的解,算法不会在该分支继续查找,而是立即终止该分支,并去考察下一个分支。 (nAg
~i
>A>_UT_"
按上述算法编写函数和程序如下: DbrK,'b%
【程序】 I/_,24[
# include <stdio.h> F0KNkL>&g
# define N 100
(V<pz2\
double limitW,totV,maxV; @r]1;KG
int option[N],cop[N]; 1xj w=
struct { double weight; 48LzI@H&
double value; u85?f
}a[N]; f"Kl?IN8
int n; mk[<=k~
void find(int i,double tw,double tv) ZO&F15$P
{ int k; PMZ*ECIJU
/*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/ qDPl( WXb
if (tw+a.weight<=limitW) 91|~KR)
{ cop=1; jwO7r0?\`G
if (i<n-1) find(i+1,tw+a.weight,tv);
LX</xI08W
else JlE b
{ for (k=0;k<n;k++) :LLz$[c8
option[k]=cop[k]; s)}EMDY
maxv=tv; 5"z~BE7
} TGzs|-
cop=0; -?1ed|I8
} rnQ9uNAu
/*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/ o?><(A|
if (tv-a.value>maxV) MZS/o3
if (i<n-1) find(i+1,tw,tv-a.value); [m6%_3zV
else ;"]?&ri
{ for (k=0;k<n;k++) TlpQ9T
option[k]=cop[k]; J~lKN
<w
maxv=tv-a.value; lin
} O5dBI_
} J=B,$4)9
]~7xq)28
void main() 9M7Wlx2
{ int k; ESi-'R&
double w,v; Y0g6zHk7
printf(“输入物品种数\n”); zv~b-Tp
scanf((“%d”,&n); xPMX\aI|l
printf(“输入各物品的重量和价值\n”); <5npVm
for (totv=0.0,k=0;k<n;k++) T#ehJq 5
{ scanf(“%1f%1f”,&w,&v); [='<K
a[k].weight=w; F32U;fp3
a[k].value=v; LsaRw-4.c
totV+=V; }0 =gP?.kE
} gsVm)mkd
printf(“输入限制重量\n”); [-h=L
Jf#
scanf(“%1f”,&limitV); [-2Tj)P
C
maxv=0.0; .83z =
for (k=0;k<n;k++) cop[k]=0; k@Bn}r
find(0,0.0,totV); #R#|hw
for (k=0;k<n;k++) ]]/p.#oD,
if (option[k]) printf(“%4d”,k+1); N[wyi&m4
printf(“\n总价值为%.2f\n”,maxv); oD_#oX5\
} ;_E][m
作为对比,下面以同样的解题思想,考虑非递归的程序解。为了提高找解速度,程序不是简单地逐一生成所有候选解,而是从每个物品对候选解的影响来形成值得进一步考虑的候选解,一个候选解是通过依次考察每个物品形成的。对物品i的考察有这样几种情况:当该物品被包含在候选解中依旧满足解的总重量的限制,该物品被包含在候选解中是应该继续考虑的;反之,该物品不应该包括在当前正在形成的候选解中。同样地,仅当物品不被包括在候选解中,还是有可能找到比目前临时最佳解更好的候选解时,才去考虑该物品不被包括在候选解中;反之,该物品不包括在当前候选解中的方案也不应继续考虑。对于任一值得继续考虑的方案,程序就去进一步考虑下一个物品。 Rip[
【程序】 _F3=
H]P
# include <stdio.h> ,S-zY\XB
# define N 100 Y 016Xg5
double limitW; 1G
63eH)!
int cop[N]; %$=}ePD
struct ele { double weight; m-'+)lB
double value; 02q*z>:^
} a[N]; 3`{[T17
int k,n; cLm{gd4 W
struct { int flg; zqm/<]A*l
double tw; ;c|G
double tv; 4n/CSAT1
}twv[N]; 8[d6 s
void next(int i,double tw,double tv) q@}tv=}
{ twv.flg=1; GtkZ%<KF9
twv.tw=tw; ;xjw'%n,
twv.tv=tv; J4jL%5t
} s`o_ER
double find(struct ele *a,int n) =:Lc-y >
{ int i,k,f; 6Lz:J:Q)
double maxv,tw,tv,totv; ::!{f+Up
maxv=0; &u0on)E
for (totv=0.0,k=0;k<n;k++) s3oQ( wC %
totv+=a[k].value; H)NT2@%{P
next(0,0.0,totv); Jl{g"N{2u'
i=0; Pql;5
~/
While (i>=0) RaAvPIJa |
{ f=twv.flg; 8~v E
tw=twv.tw; k[/`G5
tv=twv.tv; v:u=.by99
switch(f) ThYHVJ[;
{ case 1: twv.flg++; CChCxB
if (tw+a.weight<=limitW) +tp@Tb
if (i<n-1) 7_ao?}g
{ next(i+1,tw+a.weight,tv); hlBqcOpkKg
i++; ~4u[\&Sh
} 6q@VkzF
else AHdh]pfH
{ maxv=tv; z[De?8=)
for (k=0;k<n;k++) RyZy2^0<
cop[k]=twv[k].flg!=0; EALgBv>#ZL
} T<~?7-O"
break; )U:W
9%
case 0: i--; <9aa@c57
break; CYN")J8V
default: twv.flg=0; 8% `Jf`
if (tv-a.value>maxv) 3<ry/{#%
if (i<n-1) w[s}#Q
{ next(i+1,tw,tv-a.value); lvIdYf$?
i++; @1+({u#B
} OM#eJ,MH<)
else Nx<%'-9)|
{ maxv=tv-a.value; z#t;n
for (k=0;k<n;k++) IGcYPL\&
cop[k]=twv[k].flg!=0; Un{ 9reX5
} LABLT;c
break; yn KgNi
} 9vJ'9Z2\
} .?;"iv+
return maxv; U$AV"F&!&}
} "78BApjWT6
'{:lP"\,L
void main() xQ@gh
( (
{ double maxv; SD=9fh0l
printf(“输入物品种数\n”); w$[ck=
scanf((“%d”,&n); .dl4f"k
printf(“输入限制重量\n”); `Y.Q{5Y
scanf(“%1f”,&limitW); ~"i4"Op&
printf(“输入各物品的重量和价值\n”); cA25FD
for (k=0;k<n;k++) 4
X6_p(
scanf(“%1f%1f”,&a[k].weight,&a[k].value); AJR`ohh
maxv=find(a,n);
cj9<! "6
printf(“\n选中的物品为\n”); FdMxw*}
for (k=0;k<n;k++) ^HI}bS1+|
if (option[k]) printf(“%4d”,k+1); wsyAq'%L
printf(“\n总价值为%.2f\n”,maxv); wd0 *"c@
}