六、贪婪法 .$n$ %|"H-
,,zd.9n
贪婪法是一种不追求最优解，只希望得到较为满意解的方法。贪婪法一般可以快速得到满意的解，因为它省去了为找最优解要穷尽所有可能而必须耗费的大量时间。贪婪法常以当前情况为基础作最优选择，而不考虑各种可能的整体情况，所以贪婪法不要回溯。 m`[oT\
例如平时购物找钱时，为使找回的零钱的硬币数最少，不考虑找零钱的所有各种发表方案，而是从最大面值的币种开始，按递减的顺序考虑各币种，先尽量用大面值的币种，当不足大面值币种的金额时才去考虑下一种较小面值的币种。这就是在使用贪婪法。这种方法在这里总是最优，是因为银行对其发行的硬币种类和硬币面值的巧妙安排。如只有面值分别为1、5和11单位的硬币，而希望找回总额为15单位的硬币。按贪婪算法，应找1个11单位面值的硬币和4个1单位面值的硬币，共找回5个硬币。但最优的解应是3个5单位面值的硬币。 cYE./1D a
【问题】 装箱问题 N,h1$)\B#
问题描述：装箱问题可简述如下：设有编号为0、1、…、n-1的n种物品，体积分别为v0、v1、…、vn-1。将这n种物品装到容量都为V的若干箱子里。约定这n种物品的体积均不超过V，即对于0≤i＜n，有0＜vi≤V。不同的装箱方案所需要的箱子数目可能不同。装箱问题要求使装尽这n种物品的箱子数要少。 VM=hQYe
若考察将n种物品的集合分划成n个或小于n个物品的所有子集，最优解就可以找到。但所有可能划分的总数太大。对适当大的n，找出所有可能的划分要花费的时间是无法承受的。为此，对装箱问题采用非常简单的近似算法，即贪婪法。该算法依次将物品放到它第一个能放进去的箱子中，该算法虽不能保证找到最优解，但还是能找到非常好的解。不失一般性，设n件物品的体积是按从大到小排好序的，即有v0≥v1≥…≥vn-1。如不满足上述要求，只要先对这n件物品按它们的体积从大到小排序，然后按排序结果对物品重新编号即可。装箱算法简单描述如下： {_? T:`
{ 输入箱子的容积； qAnA=/k`
输入物品种数n； 7j4ej|Fjo
按体积从大到小顺序，输入各物品的体积； Cca~Cq[%*(
预置已用箱子链为空； ;*n_N!v
预置已用箱子计数器box_count为0； pE~9o 9
for (i=0;i<n;i++)
$@5% 5
{ 从已用的第一只箱子开始顺序寻找能放入物品i 的箱子j； j\%?<2dj=
if （已用箱子都不能再放物品i） 1y_fQ+\2A
{ 另用一个箱子，并将物品i放入该箱子； +"TI_tK, S
box_count++； M9g~lK s'
} F]/L!
else .G7]&5s
将物品i放入箱子j； &?}kL=
h
} 5B8V $ X
} TW'E 99wG
上述算法能求出需要的箱子数box_count，并能求出各箱子所装物品。下面的例子说明该算法不一定能找到最优解，设有6种物品，它们的体积分别为：60、45、35、20、20和20单位体积，箱子的容积为100个单位体积。按上述算法计算，需三只箱子，各箱子所装物品分别为：第一只箱子装物品1、3；第二只箱子装物品2、4、5；第三只箱子装物品6。而最优解为两只箱子，分别装物品1、4、5和2、3、6。 e4[-rkn{hl
若每只箱子所装物品用链表来表示，链表首结点指针存于一个结构中，结构记录尚剩余的空间量和该箱子所装物品链表的首指针。另将全部箱子的信息也构成链表。以下是按以上算法编写的程序。 `%KpTh
【程序】 0\8*S3,q
# include <stdio.h> Mb2:'u [
# include <stdlib.h> |)
x'
typedef struct ele 4Z<]4:o
{ int vno; Kx(76_XD
struct ele *link; tn(?nQN3
} ELE; D|u^8\'.
typedef struct hnode '-$))AdD
{ int remainder; wUh3Hd'
ELE *head; -lJx%9>
Struct hnode *next; y |&.v <
} HNODE; BnKP7e
]}UeuF\
void main() u=_bM2;~Z
{ int n, i, box_count, box_volume, *a; 5b u[}mJ
HNODE *box_h, *box_t, *j; .5jnKU8NF
ELE *p, *q; >X-ed
Printf(“输入箱子容积\n”); s BeP;ox
Scanf(“%d”,&box_volume); `@ VM<av
Printf(“输入物品种数\n”); )x_W & *oZ
Scanf(“%d”,&n); HPu/. oE
A=(int *)malloc(sizeof(int)*n); k rEH`f
Printf(“请按体积从大到小顺序输入各物品的体积：”); L:|X/c9r[
For (i=0;i<n;i++) scanf(“%d”,a+i); EqNz L* E
Box_h=box_t=NULL; ]C t`4pA
Box_count=0; =
]dz1~/
For (i=0;i<n;i++) Q #yu(
{ p=(ELE *)malloc(sizeof(ELE)); }1X11+/ W
p->vno=i; Wto@u4
for (j=box_h;j!=NULL;j=j->next) `'A(`. CL
if (j->remainder>=a) break; CF4O h-f
if (j==NULL) i?1js ! 8
{ j=(HNODE *)malloc(sizeof(HNODE)); qK 9L+i
j->remainder=box_volume-a; j`[y o AH
j->head=NULL; kR`6s
if (box_h==NULL) box_h=box_t=j; WI*^+E&=*
else box_t=boix_t->next=j; c %xED%X9
j->next=NULL; F]URf&U
box_count++; t z
+
} wHB Hkz
else j->remainder-=a; CrRQPgl+u
for (q=j->next;q!=NULL&&q->link!=NULL;q=q->link); 60U{ e}Mkb
if (q==NULL) !0!P.Q8>&
{ p->link=j->head; mMD$X[:
j->head=p; <wd4^Vr!2
} m2-fi*Mgg
else K4h-4Qbn
{ p->link=NULL; ! 4qps$p{
q->link=p; p[af[!
} :>AW@SoTp
} qb>|n 1F_
printf(“共使用了%d只箱子”，box_count); rE
bx%u7Q
printf(“各箱子装物品情况如下：”); *783xEF>f
for (j=box_h,i=1;j!=NULL;j=j->next,i++) O&rD4#
{ printf(“第%2d只箱子，还剩余容积%4d，所装物品有；\n”,I,j->remainder); ~I/>i& |M1
for (p=j->head;p!=NULL;p=p->link) !R] CmK
printf(“%4d”,p->vno+1); Kd ryl
printf(“\n”); z1{E:~f
} a6 #{2q
} p ?Ij-uo"o
【问题】 马的遍历 Wc Zo+r
问题描述：在8×8方格的棋盘上，从任意指定的方格出发，为马寻找一条走遍棋盘每一格并且只经过一次的一条路径。 Xj})?{FP
马在某个方格，可以在一步内到达的不同位置最多有8个，如图所示。如用二维数组board[ ][ ]表示棋盘，其元素记录马经过该位置时的步骤号。另对马的8种可能走法（称为着法）设定一个顺序，如当前位置在棋盘的（i，j）方格，下一个可能的位置依次为（i+2，j+1）、（i+1，j+2）、（i-1，j+2）、（i-2，j+1）、（i-2，j-1）、（i-1，j-2）、（i+1，j-2）、（i+2，j-1），实际可以走的位置尽限于还未走过的和不越出边界的那些位置。为便于程序的同意处理，可以引入两个数组，分别存储各种可能走法对当前位置的纵横增量。 X1
0"G~0
4 3 -6em*$k^
5 2 X d19GP!
马 [pRVZV
6 1 v
,G-k2$Qe
7 0 _Gs
c*M)DO`y;h
对于本题，一般可以采用回溯法，这里采用Warnsdoff策略求解，这也是一种贪婪法，其选择下一出口的贪婪标准是在那些允许走的位置中，选择出口最少的那个位置。如马的当前位置（i，j）只有三个出口，他们是位置（i+2，j+1）、（i-2，j+1）和（i-1，j-2），如分别走到这些位置，这三个位置又分别会有不同的出口，假定这三个位置的出口个数分别为4、2、3，则程序就选择让马走向（i-2，j+1）位置。 [#,X$O>
由于程序采用的是一种贪婪法，整个找解过程是一直向前，没有回溯，所以能非常快地找到解。但是，对于某些开始位置，实际上有解，而该算法不能找到解。对于找不到解的情况，程序只要改变8种可能出口的选择顺序，就能找到解。改变出口选择顺序，就是改变有相同出口时的选择标准。以下程序考虑到这种情况，引入变量start，用于控制8种可能着法的选择顺序。开始时为0，当不能找到解时，就让start增1，重新找解。细节以下程序。 r+V(1<`2X
【程序】 Y_Z
&p#Q!
# include <stdio.h> P&-D0T_
int delta_i[ ]={2,1,-1,-2,-2,-1,1,2}; @]y{M;
int delta_j[ ]={1,2,2,1,-1,-2,-2,-1}; \ eyQo>(
int board[8][8]; NXWIE4T>*^
int exitn(int i,int j,int s,int a[ ]) QvK]<HE r
{ int i1,j1,k,count; DS[l,x
for (count=k=0;k<8;k++) WW8YB"
{ i1=i+delta_i[(s+k)%8]; 6/V{>MTZg
j1=i+delta_j[(s+k)%8]; bz}AO))Hk
if (i1>=0&&i1<8&&j1>=0&&j1<8&&board[I1][j1]==0) xRTg
[
a[count++]=(s+k)%8; vBCZ/F[
} [#
tT o;q
return count; pT_e;,KW
U
} NBbY## w0
@tjZvRtZ
int next(int i,int j,int s) %xbz&'W,
{ int m,k,mm,min,a[8],b[8],temp; &ls!IN
m=exitn(i,j,s,a); =?I1V #.
if (m==0) return –1; Z|cTzunp
for (min=9,k=0;k<m;k++) a dz;N;rIY
{ temp=exitn(I+delta_i[a[k]],j+delta_j[a[k]],s,b); @$b+~X)7
if (temp<min) um_M}t{
{ min=temp; !w;A=
kk=a[k]; q*<J $PI
} MSYLkQ}_b
} eqUn8<<s
return kk; 0-&s J
}
$V {- @=
T0np<l]A
void main() w'!}(Z5X?
{ int sx,sy,i,j,step,no,start; pRk'GR]`
for (sx=0;sx<8;sx++) v^lm8/ }NO
for (sy=0;sy<8;sy++) Y(G* Yi?;
{ start=0; O7<V@GL+
do { 5f^`4 pT
for (i=0;i<8;i++) fB @pwmu
for (j=0;j<8;j++) 1!v >I"]
board[j]=0; ]5)&36
board[sx][sy]=1; 5x1jLPl'
I=sx; j=sy; 3/S qXu
For (step=2;step<64;step++) v_1JH<GJ-
{ if ((no=next(i,j,start))==-1) break; b#\ k Z/W
I+=delta_i[no]; )l!&i?h%
j+=delta_j[no]; IpaJ<~ p
board[j]=step; !i"9f_
} dC;d>j,
if (step>64) break; 1WA""yb
start++; )>#<S0>'j
} while(step<=64) RAx]Sp
Q-S
for (i=0;i<8;i++) L+0N@`nRF
{ for (j=0;j<8;j++) l<)JAT;P
printf(“%4d”,board[j]); zk^7gx3x
printf(“\n\n”); ow>[#.ua
} ;KjMZ(Iil1
scanf(“%*c”); qU
x7S(a
} EBn:[2
}
