四、递归 >>c%Ic
s<;{q+1#
递归是设计和描述算法的一种有力的工具,由于它在复杂算法的描述中被经常采用,为此在进一步介绍其他算法设计方法之前先讨论它。 ymn@1BA8J
能采用递归描述的算法通常有这样的特征:为求解规模为N的问题,设法将它分解成规模较小的问题,然后从这些小问题的解方便地构造出大问题的解,并且这些规模较小的问题也能采用同样的分解和综合方法,分解成规模更小的问题,并从这些更小问题的解构造出规模较大问题的解。特别地,当规模N=1时,能直接得解。 Yfx?3
【问题】 编写计算斐波那契(Fibonacci)数列的第n项函数fib(n)。 &14xYpD<
斐波那契数列为:0、1、1、2、3、……,即: Wr@q+Whq
fib(0)=0; zSjZTA/Z
fib(1)=1; j$<g8Bg=o
fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) (当n>1时)。 85q!FpuH
写成递归函数有: `_sKR,LhB
int fib(int n) 5&.I9}[)j
{ if (n==0) return 0; I+QM":2
if (n==1) return 1; w\M"9T
if (n>1) return fib(n-1)+fib(n-2); fZ(k"*\MZ
} cT@H49#uB
递归算法的执行过程分递推和回归两个阶段。在递推阶段,把较复杂的问题(规模为n)的求解推到比原问题简单一些的问题(规模小于n)的求解。例如上例中,求解fib(n),把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是说,为计算fib(n),必须先计算fib(n-1)和fib(n-2),而计算fib(n-1)和fib(n-2),又必须先计算fib(n-3)和fib(n-4)。依次类推,直至计算fib(1)和fib(0),分别能立即得到结果1和0。在递推阶段,必须要有终止递归的情况。例如在函数fib中,当n为1和0的情况。 K#Xl)h}y7
在回归阶段,当获得最简单情况的解后,逐级返回,依次得到稍复杂问题的解,例如得到fib(1)和fib(0)后,返回得到fib(2)的结果,……,在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的结果后,返回得到fib(n)的结果。 Tv `&
在编写递归函数时要注意,函数中的局部变量和参数知识局限于当前调用层,当递推进入“简单问题”层时,原来层次上的参数和局部变量便被隐蔽起来。在一系列“简单问题”层,它们各有自己的参数和局部变量。 .e4upTGU
由于递归引起一系列的函数调用,并且可能会有一系列的重复计算,递归算法的执行效率相对较低。当某个递归算法能较方便地转换成递推算法时,通常按递推算法编写程序。例如上例计算斐波那契数列的第n项的函数fib(n)应采用递推算法,即从斐波那契数列的前两项出发,逐次由前两项计算出下一项,直至计算出要求的第n项。 +i[@+`
【问题】 组合问题 ,Iru_=Wk~
问题描述:找出从自然数1、2、……、n中任取r个数的所有组合。例如n=5,r=3的所有组合为: (1)5、4、3 (2)5、4、2 (3)5、4、1 ~Rx`:kQ
(4)5、3、2 (5)5、3、1 (6)5、2、1 ^A=2#j~H\
(7)4、3、2 (8)4、3、1 (9)4、2、1 '!`| H 3
(10)3、2、1 9rIv-&7'm
分析所列的10个组合,可以采用这样的递归思想来考虑求组合函数的算法。设函数为void comb(int m,int k)为找出从自然数1、2、……、m中任取k个数的所有组合。当组合的第一个数字选定时,其后的数字是从余下的m-1个数中取k-1数的组合。这就将求m个数中取k个数的组合问题转化成求m-1个数中取k-1个数的组合问题。设函数引入工作数组a[ ]存放求出的组合的数字,约定函数将确定的k个数字组合的第一个数字放在a[k]中,当一个组合求出后,才将a[ ]中的一个组合输出。第一个数可以是m、m-1、……、k,函数将确定组合的第一个数字放入数组后,有两种可能的选择,因还未去顶组合的其余元素,继续递归去确定;或因已确定了组合的全部元素,输出这个组合。细节见以下程序中的函数comb。 ixL[(*V
【程序】 TEla?N
# include <stdio.h> kkJ8xyO
# define MAXN 100 PzT@q\O
int a[MAXN]; nchpD@'t
void comb(int m,int k) MwX8F YF
D
{ int i,j; Ce~Pms]
for (i=m;i>=k;i--) V+zn`
\a
{ a[k]=i; +Ht(_+To1
if (k>1) _;R#B`9Iu
comb(i-1,k-1); TrNh,5+b
else Q3'P<"u
{ for (j=a[0];j>0;j--) q;#bFPh
printf(“%4d”,a[j]); Vh^ :.y
printf(“\n”); qoZe<jW (
} 2V~uPZ
} m{&lU@uL
} E2tUL#
$KBW{
void main() aU/y>Y <k
{ a[0]=3; )LNKJe+
comb(5,3); KO/#t~
} 6\Tq,I7
【问题】 背包问题 @V&HE:P
问题描述:有不同价值、不同重量的物品n件,求从这n件物品中选取一部分物品的选择方案,使选中物品的总重量不超过指定的限制重量,但选中物品的价值之和最大。 _Ea1;dJmq
设n件物品的重量分别为w0、w1、…、wn-1,物品的价值分别为v0、v1、…、vn-1。采用递归寻找物品的选择方案。设前面已有了多种选择的方案,并保留了其中总价值最大的方案于数组option[ ],该方案的总价值存于变量maxv。当前正在考察新方案,其物品选择情况保存于数组cop[ ]。假定当前方案已考虑了前i-1件物品,现在要考虑第i件物品;当前方案已包含的物品的重量之和为tw;至此,若其余物品都选择是可能的话,本方案能达到的总价值的期望值为tv。算法引入tv是当一旦当前方案的总价值的期望值也小于前面方案的总价值maxv时,继续考察当前方案变成无意义的工作,应终止当前方案,立即去考察下一个方案。因为当方案的总价值不比maxv大时,该方案不会被再考察,这同时保证函数后找到的方案一定会比前面的方案更好。 IpM"k)HR
对于第i件物品的选择考虑有两种可能: gB>AYL%o=
(1) 考虑物品i被选择,这种可能性仅当包含它不会超过方案总重量限制时才是可行的。选中后,继续递归去考虑其余物品的选择。 iVo-z#
(2) 考虑物品i不被选择,这种可能性仅当不包含物品i也有可能会找到价值更大的方案的情况。 lk`|u$KPz
按以上思想写出递归算法如下: 8bf@<VTO_
try(物品i,当前选择已达到的重量和,本方案可能达到的总价值tv) E&Zt<pRf;2
{ /*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/ 7q{yLcC"
if(包含物品i是可以接受的) dA<SVk*0Q
{ 将物品i包含在当前方案中; '@zMZc!
if (i<n-1) <tm=
try(i+1,tw+物品i的重量,tv); o?+?@Xb'
else rHqP[[4B'
/*又一个完整方案,因为它比前面的方案好,以它作为最佳方案*/ %zR5q Lb
以当前方案作为临时最佳方案保存; [;l;kom
恢复物品i不包含状态; 3#aLCpVla
} ,Y16m{<eC
/*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/ \tA@A
if (不包含物品i仅是可男考虑的) 4hYK$!"r
if (i<n-1) o}D
}Q"=A
try(i+1,tw,tv-物品i的价值); 6W~JM^F
else ztAC3,r]
/*又一个完整方案,因它比前面的方案好,以它作为最佳方案*/ BqpJvRJd
以当前方案作为临时最佳方案保存; lanU)+U.
} t3*.Bm:^
为了理解上述算法,特举以下实例。设有4件物品,它们的重量和价值见表: }2^qM^,0
物品 0 1 2 3 QIdml*Np?H
重量 5 3 2 1 9Z"WV5o
价值 4 4 3 1 Ft}nG&D
`-Tb=o}.
并设限制重量为7。则按以上算法,下图表示找解过程。由图知,一旦找到一个解,算法就进一步找更好的佳。如能判定某个查找分支不会找到更好的解,算法不会在该分支继续查找,而是立即终止该分支,并去考察下一个分支。 />uE)R$
~@e=+Z
按上述算法编写函数和程序如下: I,aaSBwt&2
【程序】 I,"q:QS+
# include <stdio.h> b2RW=m-
# define N 100 >"z`))9
double limitW,totV,maxV; FE:}D;$
int option[N],cop[N]; s#aane
struct { double weight; n0t+xvNDF_
double value; #TV #*
}a[N]; o=PW)37>
int n; Q'Uv5p"X
void find(int i,double tw,double tv) W"\+jHF"
{ int k; of >
/*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/ ma/<#l^}
if (tw+a.weight<=limitW) r=xec@R]*
{ cop=1; NC YOY
if (i<n-1) find(i+1,tw+a.weight,tv); bZZ_yc
else mnw(x#%P
{ for (k=0;k<n;k++) $7-S\sDr
option[k]=cop[k]; TkIiO>
maxv=tv; ks,d4b=->
} jw/@]f;N
cop=0; b?2 \j}
} VMS3Q)Ul
/*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/ a/rQ@ c>
if (tv-a.value>maxV) 'R#MH
if (i<n-1) find(i+1,tw,tv-a.value); ]ki) (Bb
else dnM.
{ for (k=0;k<n;k++) ZTj!ti;5
option[k]=cop[k]; dz/3=0
maxv=tv-a.value; hM&VMa [
} &'/bnN +R
} y'<5P~W!a
wzcv[C-x
void main() : H]MMe
{ int k; sp_19u
double w,v; B`vC>
printf(“输入物品种数\n”); !Q}Bz*Y
scanf((“%d”,&n); +:/.\3v71
printf(“输入各物品的重量和价值\n”); Zeq^dV5y77
for (totv=0.0,k=0;k<n;k++) \Hq=_}]F
{ scanf(“%1f%1f”,&w,&v); ^* CKx
a[k].weight=w; T t_QAIl
a[k].value=v; 'b6qEU#
totV+=V; I9nm$,i]7
} zFY$^Oz"_
printf(“输入限制重量\n”); +x?8\
scanf(“%1f”,&limitV); qWXw*d1]
maxv=0.0; ^`RMf5i1m
for (k=0;k<n;k++) cop[k]=0; =tX"aCW~
find(0,0.0,totV); 0Ag2zx
for (k=0;k<n;k++) }0>\%C
if (option[k]) printf(“%4d”,k+1); vq\L9$WJ
printf(“\n总价值为%.2f\n”,maxv); @Hr1.f
} qZlL6
作为对比,下面以同样的解题思想,考虑非递归的程序解。为了提高找解速度,程序不是简单地逐一生成所有候选解,而是从每个物品对候选解的影响来形成值得进一步考虑的候选解,一个候选解是通过依次考察每个物品形成的。对物品i的考察有这样几种情况:当该物品被包含在候选解中依旧满足解的总重量的限制,该物品被包含在候选解中是应该继续考虑的;反之,该物品不应该包括在当前正在形成的候选解中。同样地,仅当物品不被包括在候选解中,还是有可能找到比目前临时最佳解更好的候选解时,才去考虑该物品不被包括在候选解中;反之,该物品不包括在当前候选解中的方案也不应继续考虑。对于任一值得继续考虑的方案,程序就去进一步考虑下一个物品。 BFqM6_/J
【程序】 tItI^]w2s
# include <stdio.h> _^$F^}{&
# define N 100 ~|oB|>
double limitW; MRHRa
int cop[N]; n<eK\w
struct ele { double weight; 6I|9@~!y[
double value; f%P#.
} a[N]; w;kiH+&
int k,n; &Gm3
struct { int flg; XAB/S8 e
double tw; P`
Gb}]rW
double tv; roIc1Ax:
}twv[N]; !nQoz^_`P
void next(int i,double tw,double tv) bkm:#K
{ twv.flg=1; 51;Bc[)%
twv.tw=tw; D}2$n?~+
twv.tv=tv; <AHdz/N
} v5FfxDvw
double find(struct ele *a,int n) LRdV_O1e6M
{ int i,k,f; \=(U tro
double maxv,tw,tv,totv; DtZ7UX\P
maxv=0; m$g{&
for (totv=0.0,k=0;k<n;k++) n0uL^{B
totv+=a[k].value; VT;cz6"6b4
next(0,0.0,totv); !F2JT@6
i=0; kPSi6ci
While (i>=0) >/.Ae8I)
{ f=twv.flg; bV*q~@xh
tw=twv.tw; TUQe.oAi
tv=twv.tv; jz I,B
switch(f) 1NAtg*`
{ case 1: twv.flg++; D e$K
if (tw+a.weight<=limitW) )$O'L7I n&
if (i<n-1) DRRy5+,I
{ next(i+1,tw+a.weight,tv); }9Q<<a
i++; &hWYw+yH\
} |KSoS#Y
else oCKn
{ maxv=tv; +@do<2l]
for (k=0;k<n;k++) &
5'cN
cop[k]=twv[k].flg!=0; /vqsp0e"H
} 3B4C@ {
break; xfqU
atC
case 0: i--; zB6&),[,v
break; T1RICIf1F
default: twv.flg=0; ,!98VJmr
if (tv-a.value>maxv) bGik~
if (i<n-1) .0dx@Sbv
{ next(i+1,tw,tv-a.value); Wf&i{3z[
i++; ALKzR433/
} >6'brb
else f=>iiv
{ maxv=tv-a.value; hM8FN
for (k=0;k<n;k++) HZ89x|Hk_
cop[k]=twv[k].flg!=0; ?u{D-by%&
} f%%'M.is
break; D)eRk0iC
} 6h&i<->
} ~tB9kLFG
return maxv; %kk~qvW
} TEbE-h0)]
hNF, sA
void main() nwJc%0
{ double maxv; ?Lr:>
printf(“输入物品种数\n”); l YjPrA]TC
scanf((“%d”,&n); {HP.HK
printf(“输入限制重量\n”); G+NTn\
scanf(“%1f”,&limitW); fBPJ8VY
printf(“输入各物品的重量和价值\n”); 92^Dn`g
for (k=0;k<n;k++) 3e|,Z'4}4
scanf(“%1f%1f”,&a[k].weight,&a[k].value); {InW%qSn_
maxv=find(a,n); {<2q
printf(“\n选中的物品为\n”); l,
-q:8
for (k=0;k<n;k++) w)}@svv"
if (option[k]) printf(“%4d”,k+1); Y_nlIcu
printf(“\n总价值为%.2f\n”,maxv); -M-y*P)
}