六、贪婪法 [ e$]pN%
o-~-F+mj#
贪婪法是一种不追求最优解，只希望得到较为满意解的方法。贪婪法一般可以快速得到满意的解，因为它省去了为找最优解要穷尽所有可能而必须耗费的大量时间。贪婪法常以当前情况为基础作最优选择，而不考虑各种可能的整体情况，所以贪婪法不要回溯。 gGF$M
`
例如平时购物找钱时，为使找回的零钱的硬币数最少，不考虑找零钱的所有各种发表方案，而是从最大面值的币种开始，按递减的顺序考虑各币种，先尽量用大面值的币种，当不足大面值币种的金额时才去考虑下一种较小面值的币种。这就是在使用贪婪法。这种方法在这里总是最优，是因为银行对其发行的硬币种类和硬币面值的巧妙安排。如只有面值分别为1、5和11单位的硬币，而希望找回总额为15单位的硬币。按贪婪算法，应找1个11单位面值的硬币和4个1单位面值的硬币，共找回5个硬币。但最优的解应是3个5单位面值的硬币。 ^.nwc#
【问题】 装箱问题 ?SBh^/zf
问题描述：装箱问题可简述如下：设有编号为0、1、…、n-1的n种物品，体积分别为v0、v1、…、vn-1。将这n种物品装到容量都为V的若干箱子里。约定这n种物品的体积均不超过V，即对于0≤i＜n，有0＜vi≤V。不同的装箱方案所需要的箱子数目可能不同。装箱问题要求使装尽这n种物品的箱子数要少。 Kw)C{L5a
若考察将n种物品的集合分划成n个或小于n个物品的所有子集，最优解就可以找到。但所有可能划分的总数太大。对适当大的n，找出所有可能的划分要花费的时间是无法承受的。为此，对装箱问题采用非常简单的近似算法，即贪婪法。该算法依次将物品放到它第一个能放进去的箱子中，该算法虽不能保证找到最优解，但还是能找到非常好的解。不失一般性，设n件物品的体积是按从大到小排好序的，即有v0≥v1≥…≥vn-1。如不满足上述要求，只要先对这n件物品按它们的体积从大到小排序，然后按排序结果对物品重新编号即可。装箱算法简单描述如下： w;@`Yi .WQ
{ 输入箱子的容积； goG] WGVr
输入物品种数n； bDxPgb7N=
按体积从大到小顺序，输入各物品的体积； 1 OuSH+
预置已用箱子链为空； ^Z#<tN;
预置已用箱子计数器box_count为0； ]%b0[7[
for (i=0;i<n;i++) ?U7&R%Lh`
{ 从已用的第一只箱子开始顺序寻找能放入物品i 的箱子j； FuIWiO(
if （已用箱子都不能再放物品i） Z#H@BWN7
{ 另用一个箱子，并将物品i放入该箱子； dP$y>%cB
box_count++； Vjv6\;tt8
} L2:oZ&:u`J
else e,P Q)1
将物品i放入箱子j； %w;1*~bH
} ch%Q'DR_I)
} 0:~gW#lD
上述算法能求出需要的箱子数box_count，并能求出各箱子所装物品。下面的例子说明该算法不一定能找到最优解，设有6种物品，它们的体积分别为：60、45、35、20、20和20单位体积，箱子的容积为100个单位体积。按上述算法计算，需三只箱子，各箱子所装物品分别为：第一只箱子装物品1、3；第二只箱子装物品2、4、5；第三只箱子装物品6。而最优解为两只箱子，分别装物品1、4、5和2、3、6。 J+-,^8)
若每只箱子所装物品用链表来表示，链表首结点指针存于一个结构中，结构记录尚剩余的空间量和该箱子所装物品链表的首指针。另将全部箱子的信息也构成链表。以下是按以上算法编写的程序。 K +(m'3`
【程序】 c`Lpqs`
# include <stdio.h> <h)deB+}
# include <stdlib.h> G:H(IA7 Z
typedef struct ele #sozXza\G
{ int vno; ?14X8Mb8W_
struct ele *link; F o--PtY`p
} ELE; ,:\zXESy4
typedef struct hnode I$rW[l2
{ int remainder; &QiAM`MbC=
ELE *head; / n C$?w
Struct hnode *next; hg)!m\g
} HNODE; n:%'{}Jw
P# M<CG9
void main() e!O &~#'h}
{ int n, i, box_count, box_volume, *a; (cbB %
HNODE *box_h, *box_t, *j; X7(rg W 8
ELE *p, *q;
M}_M_
Printf(“输入箱子容积\n”); 0nF>zOmc
Scanf(“%d”,&box_volume); C{lB/F /|!
Printf(“输入物品种数\n”); 7!]k#|u
Scanf(“%d”,&n); aC
$h_
A=(int *)malloc(sizeof(int)*n); l%v hV&
Printf(“请按体积从大到小顺序输入各物品的体积：”); 4c493QOd
For (i=0;i<n;i++) scanf(“%d”,a+i); zwF7DnW<<
Box_h=box_t=NULL; ZVCv(J
Box_count=0; JC1BUheeb
For (i=0;i<n;i++) Y+S~b
{ p=(ELE *)malloc(sizeof(ELE)); sZ\i(eIU
p->vno=i; pJ<)intcbE
for (j=box_h;j!=NULL;j=j->next) hNgcE,67q
if (j->remainder>=a) break; 9
u6
g
if (j==NULL) Y D1g]p
{ j=(HNODE *)malloc(sizeof(HNODE)); TU^tW
j->remainder=box_volume-a; QZe b+r
j->head=NULL; (]GY.(F{
if (box_h==NULL) box_h=box_t=j; `qQQQ.K7)z
else box_t=boix_t->next=j; +#2@ G}j
j->next=NULL; y2 d_b/
box_count++; dvH67 x
} '8iv?D5 M
else j->remainder-=a; >Kqj{/SWK
for (q=j->next;q!=NULL&&q->link!=NULL;q=q->link); J[Y lo&w3
if (q==NULL) 0.3[=a4 3
{ p->link=j->head; |$i1]Dr6
j->head=p; dRar NW
}
`\}zm~
else )xXrs^
{ p->link=NULL; . /z"P]$
q->link=p; ]MBJ" 1F
} TO8\4p*tE
} P7^TRrMF
printf(“共使用了%d只箱子”，box_count); iz$v8;w
printf(“各箱子装物品情况如下：”); ~=aI2( b
for (j=box_h,i=1;j!=NULL;j=j->next,i++) s;=J'x)~%
{ printf(“第%2d只箱子，还剩余容积%4d，所装物品有；\n”,I,j->remainder); %E= ,H?9&>
for (p=j->head;p!=NULL;p=p->link) +b:h5,
printf(“%4d”,p->vno+1); wHDF TIDI
printf(“\n”); vFkyfX(
} mSqk[ Ig\
} _@}MGWlAPt
【问题】 马的遍历 <CdG[Ih
问题描述：在8×8方格的棋盘上，从任意指定的方格出发，为马寻找一条走遍棋盘每一格并且只经过一次的一条路径。 RaJ }>e
马在某个方格，可以在一步内到达的不同位置最多有8个，如图所示。如用二维数组board[ ][ ]表示棋盘，其元素记录马经过该位置时的步骤号。另对马的8种可能走法（称为着法）设定一个顺序，如当前位置在棋盘的（i，j）方格，下一个可能的位置依次为（i+2，j+1）、（i+1，j+2）、（i-1，j+2）、（i-2，j+1）、（i-2，j-1）、（i-1，j-2）、（i+1，j-2）、（i+2，j-1），实际可以走的位置尽限于还未走过的和不越出边界的那些位置。为便于程序的同意处理，可以引入两个数组，分别存储各种可能走法对当前位置的纵横增量。 aF_ZV bS
4 3 #6#BSZ E
5 2 #gr+%=S'6C
马 m/"=5*pA
6 1 & dHm!b
7 0 'FvhzGn9Q
1]zyME
对于本题，一般可以采用回溯法，这里采用Warnsdoff策略求解，这也是一种贪婪法，其选择下一出口的贪婪标准是在那些允许走的位置中，选择出口最少的那个位置。如马的当前位置（i，j）只有三个出口，他们是位置（i+2，j+1）、（i-2，j+1）和（i-1，j-2），如分别走到这些位置，这三个位置又分别会有不同的出口，假定这三个位置的出口个数分别为4、2、3，则程序就选择让马走向（i-2，j+1）位置。 %d~9at6-B
由于程序采用的是一种贪婪法，整个找解过程是一直向前，没有回溯，所以能非常快地找到解。但是，对于某些开始位置，实际上有解，而该算法不能找到解。对于找不到解的情况，程序只要改变8种可能出口的选择顺序，就能找到解。改变出口选择顺序，就是改变有相同出口时的选择标准。以下程序考虑到这种情况，引入变量start，用于控制8种可能着法的选择顺序。开始时为0，当不能找到解时，就让start增1，重新找解。细节以下程序。 gEe W1:AB
【程序】 ]f+D& qZ B
# include <stdio.h> 88X*:Kf?:
int delta_i[ ]={2,1,-1,-2,-2,-1,1,2}; )QJU ] G
int delta_j[ ]={1,2,2,1,-1,-2,-2,-1}; }][|]/s?42
int board[8][8]; hwb(W?*
int exitn(int i,int j,int s,int a[ ]) p{pzOMi6
{ int i1,j1,k,count; }<x!95
for (count=k=0;k<8;k++) V-o`L`(F`
{ i1=i+delta_i[(s+k)%8]; -^NAHE$bW
j1=i+delta_j[(s+k)%8]; wr6xuoH
if (i1>=0&&i1<8&&j1>=0&&j1<8&&board[I1][j1]==0) e#Zf>hlAz
a[count++]=(s+k)%8; t,as{.H{h
} M,dz f
return count; d1LTyzLr
} t+Q|l&|0
r
z>zdj5}
int next(int i,int j,int s) Y+5A2Z)f[
{ int m,k,mm,min,a[8],b[8],temp; #+5mpDh
m=exitn(i,j,s,a); )}g4Rvr
if (m==0) return –1; `cTs S
for (min=9,k=0;k<m;k++) A0 w `o
{ temp=exitn(I+delta_i[a[k]],j+delta_j[a[k]],s,b); (2a "W`
if (temp<min) bm]dz;ljh
{ min=temp;
qCFXaj
kk=a[k]; "Z1&z-
} >ehWjL`8
} }sN9QgE
return kk; %0M^
} j7|
\)x,
. I9] `Q
void main() M5bj |tQ4
{ int sx,sy,i,j,step,no,start; 113x9+w[
for (sx=0;sx<8;sx++) , $F0D
for (sy=0;sy<8;sy++) X
+
{ start=0; pkMON}"mj
do { 9G\3 hL ]
for (i=0;i<8;i++) b "3T(#2<*
for (j=0;j<8;j++) $5 p'+bE
board[j]=0; zk_hDhg&'
board[sx][sy]=1; z4%F2Czai&
I=sx; j=sy; W1,L>Az^Ts
For (step=2;step<64;step++) l+kg4y
{ if ((no=next(i,j,start))==-1) break; ="nrq&2
I+=delta_i[no]; M:q ;z(
j+=delta_j[no]; *'S%gR=Aa+
board[j]=step; }(7QJk5 j
} S5JR`o
if (step>64) break; ,f" "|X5
start++; [LE h
} while(step<=64) Hbj:CViYq
for (i=0;i<8;i++) 8t
35j
{ for (j=0;j<8;j++) GP
k Cgb(
printf(“%4d”,board[j]); h[)aRo
printf(“\n\n”); 4 ~|TKd{
} .6A:t? .
scanf(“%*c”); Pj5#G0i%
} a/` Yh>ou
}
