四、递归 Jq1oQu|rs
~#gc{C@
递归是设计和描述算法的一种有力的工具,由于它在复杂算法的描述中被经常采用,为此在进一步介绍其他算法设计方法之前先讨论它。 lG6&uMvo
能采用递归描述的算法通常有这样的特征:为求解规模为N的问题,设法将它分解成规模较小的问题,然后从这些小问题的解方便地构造出大问题的解,并且这些规模较小的问题也能采用同样的分解和综合方法,分解成规模更小的问题,并从这些更小问题的解构造出规模较大问题的解。特别地,当规模N=1时,能直接得解。 jS,Pu%fR
【问题】 编写计算斐波那契(Fibonacci)数列的第n项函数fib(n)。
,]wab6sY
斐波那契数列为:0、1、1、2、3、……,即: WjBml'^RY
fib(0)=0; ( w4XqVT
fib(1)=1; HX.K{!5
fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) (当n>1时)。 $y;w@^
写成递归函数有: a,rXG
int fib(int n) Y1o[|ytW
{ if (n==0) return 0; '
!huU
if (n==1) return 1; n6[shXH
if (n>1) return fib(n-1)+fib(n-2); ~ESw* 6s9
} +s}!+I8P
递归算法的执行过程分递推和回归两个阶段。在递推阶段,把较复杂的问题(规模为n)的求解推到比原问题简单一些的问题(规模小于n)的求解。例如上例中,求解fib(n),把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是说,为计算fib(n),必须先计算fib(n-1)和fib(n-2),而计算fib(n-1)和fib(n-2),又必须先计算fib(n-3)和fib(n-4)。依次类推,直至计算fib(1)和fib(0),分别能立即得到结果1和0。在递推阶段,必须要有终止递归的情况。例如在函数fib中,当n为1和0的情况。 W3l[a^1d
在回归阶段,当获得最简单情况的解后,逐级返回,依次得到稍复杂问题的解,例如得到fib(1)和fib(0)后,返回得到fib(2)的结果,……,在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的结果后,返回得到fib(n)的结果。 w !kk(QMV
在编写递归函数时要注意,函数中的局部变量和参数知识局限于当前调用层,当递推进入“简单问题”层时,原来层次上的参数和局部变量便被隐蔽起来。在一系列“简单问题”层,它们各有自己的参数和局部变量。 hl[<o<`Q
由于递归引起一系列的函数调用,并且可能会有一系列的重复计算,递归算法的执行效率相对较低。当某个递归算法能较方便地转换成递推算法时,通常按递推算法编写程序。例如上例计算斐波那契数列的第n项的函数fib(n)应采用递推算法,即从斐波那契数列的前两项出发,逐次由前两项计算出下一项,直至计算出要求的第n项。 8y<mHJ[B
【问题】 组合问题 C,;?`3bH@
问题描述:找出从自然数1、2、……、n中任取r个数的所有组合。例如n=5,r=3的所有组合为: (1)5、4、3 (2)5、4、2 (3)5、4、1 mAH7;u<
(4)5、3、2 (5)5、3、1 (6)5、2、1 C,,T7(: k
(7)4、3、2 (8)4、3、1 (9)4、2、1 [\F:NLjiUy
(10)3、2、1 xb7!!PR
分析所列的10个组合,可以采用这样的递归思想来考虑求组合函数的算法。设函数为void comb(int m,int k)为找出从自然数1、2、……、m中任取k个数的所有组合。当组合的第一个数字选定时,其后的数字是从余下的m-1个数中取k-1数的组合。这就将求m个数中取k个数的组合问题转化成求m-1个数中取k-1个数的组合问题。设函数引入工作数组a[ ]存放求出的组合的数字,约定函数将确定的k个数字组合的第一个数字放在a[k]中,当一个组合求出后,才将a[ ]中的一个组合输出。第一个数可以是m、m-1、……、k,函数将确定组合的第一个数字放入数组后,有两种可能的选择,因还未去顶组合的其余元素,继续递归去确定;或因已确定了组合的全部元素,输出这个组合。细节见以下程序中的函数comb。 B^19![v3T
【程序】 \*PE#RB#6
# include <stdio.h> VI3fvGHat{
# define MAXN 100 Cpzd k~+H
int a[MAXN]; QVn2`hr
void comb(int m,int k) 5hqXMs
{ int i,j; TrZ!E`~
for (i=m;i>=k;i--) @MQfeM-@
{ a[k]=i; Zy Df@(z`
if (k>1) Q3r]T.].h
comb(i-1,k-1); [/ CB1//Y
else n2aUj(Zs=
{ for (j=a[0];j>0;j--) )YCH>Za
printf(“%4d”,a[j]); H/f}tw
printf(“\n”); y;0Zk~R$
} ldG8hK
} HH*,Oe
} B'Nvl#
I9TNUZq('
void main() :A#'8xE/
{ a[0]=3; 5Bcmz'?!
comb(5,3); =M{&g
} &xj40IZ
【问题】 背包问题
-vT$UP
问题描述:有不同价值、不同重量的物品n件,求从这n件物品中选取一部分物品的选择方案,使选中物品的总重量不超过指定的限制重量,但选中物品的价值之和最大。 <q MX,h2
设n件物品的重量分别为w0、w1、…、wn-1,物品的价值分别为v0、v1、…、vn-1。采用递归寻找物品的选择方案。设前面已有了多种选择的方案,并保留了其中总价值最大的方案于数组option[ ],该方案的总价值存于变量maxv。当前正在考察新方案,其物品选择情况保存于数组cop[ ]。假定当前方案已考虑了前i-1件物品,现在要考虑第i件物品;当前方案已包含的物品的重量之和为tw;至此,若其余物品都选择是可能的话,本方案能达到的总价值的期望值为tv。算法引入tv是当一旦当前方案的总价值的期望值也小于前面方案的总价值maxv时,继续考察当前方案变成无意义的工作,应终止当前方案,立即去考察下一个方案。因为当方案的总价值不比maxv大时,该方案不会被再考察,这同时保证函数后找到的方案一定会比前面的方案更好。 4&]NC2I
对于第i件物品的选择考虑有两种可能: F0m[ls$
(1) 考虑物品i被选择,这种可能性仅当包含它不会超过方案总重量限制时才是可行的。选中后,继续递归去考虑其余物品的选择。 q9zeN:><
(2) 考虑物品i不被选择,这种可能性仅当不包含物品i也有可能会找到价值更大的方案的情况。 _ru<1n[4~
按以上思想写出递归算法如下: L7II>^"B
try(物品i,当前选择已达到的重量和,本方案可能达到的总价值tv) EZ Q!~
{ /*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/ PzjIM!>
if(包含物品i是可以接受的) s5b<KQ.
{ 将物品i包含在当前方案中; p<VW;1bt5
if (i<n-1) Mc
try(i+1,tw+物品i的重量,tv); 7|m{hSc
else EY1L5Ba.
/*又一个完整方案,因为它比前面的方案好,以它作为最佳方案*/ L8;`*H
以当前方案作为临时最佳方案保存; xoSBMf
恢复物品i不包含状态; ieyqp~+|4$
} )sEAPIka
/*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/ 'u[cT$
if (不包含物品i仅是可男考虑的) a.<!>o<t:
if (i<n-1)
*!EHs04
try(i+1,tw,tv-物品i的价值); E;a9RV|
else 7
dG_E]&
/*又一个完整方案,因它比前面的方案好,以它作为最佳方案*/ wZ8LY;
以当前方案作为临时最佳方案保存; qyzeAK\Ia
} BW)t2kR&
为了理解上述算法,特举以下实例。设有4件物品,它们的重量和价值见表: 4.&et()}
物品 0 1 2 3 V[|k:($
重量 5 3 2 1 &kOb#\11u
价值 4 4 3 1 "%t !+E>nr
4p&SlJ
并设限制重量为7。则按以上算法,下图表示找解过程。由图知,一旦找到一个解,算法就进一步找更好的佳。如能判定某个查找分支不会找到更好的解,算法不会在该分支继续查找,而是立即终止该分支,并去考察下一个分支。 qr/N ?,
I'cM\^/h
按上述算法编写函数和程序如下: \?\q0o<V$
【程序】 LZ9IE>sj
# include <stdio.h> )ULxB'Dm
# define N 100 gtP;Qw'
double limitW,totV,maxV; iQaF R@
int option[N],cop[N]; [TpW$E0H
struct { double weight; X/wqfP
double value; @l2AL9z$m>
}a[N]; M#>f:_`<
int n; yIThzyS
void find(int i,double tw,double tv) @*LESN>T@t
{ int k; 7<ES&ls_
/*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/ 5h(]S[Zf3
if (tw+a.weight<=limitW) e.g$|C^$m
{ cop=1; >^Z!
if (i<n-1) find(i+1,tw+a.weight,tv); 80M4~'3
else 0r\hX6 k
{ for (k=0;k<n;k++) cE=v566
option[k]=cop[k]; 0ID
8L
[
maxv=tv; I-q@@!=
} ?G-a:'1!6
cop=0; KH&xu,I
} xH8nn3U
/*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/ aI8K*D )@
if (tv-a.value>maxV) c~Hq.K$d
if (i<n-1) find(i+1,tw,tv-a.value); iyhB;s5Rgw
else M:(k7a+[^
{ for (k=0;k<n;k++) BT+ws@|[
option[k]=cop[k]; \h"QgHzp
maxv=tv-a.value; SIRZ_lt$r
} 8YBsYKC
} N1!|nS3w
r).S/
void main() Z,,Wo
%)o
{ int k; A|@d4+
double w,v; Rf\>bI<.
printf(“输入物品种数\n”); 'bg%9}
scanf((“%d”,&n); ni]gS0/
printf(“输入各物品的重量和价值\n”); T ~t%3G
for (totv=0.0,k=0;k<n;k++) VG\ER}s&P
{ scanf(“%1f%1f”,&w,&v); ^f1}:g
a[k].weight=w; GL1!Z3
a[k].value=v; ?z60b=f8
totV+=V; *pvhkJ g(
} Wm.SLr,o0
printf(“输入限制重量\n”); )f'cy@b
scanf(“%1f”,&limitV); g!%csf
maxv=0.0; ~GS`@IU}
for (k=0;k<n;k++) cop[k]=0; VxfFk4
find(0,0.0,totV); 4aZsz,=
for (k=0;k<n;k++) `^afbW
if (option[k]) printf(“%4d”,k+1); G0//P
.#
printf(“\n总价值为%.2f\n”,maxv); $X-,6*
} P*(lc:
作为对比,下面以同样的解题思想,考虑非递归的程序解。为了提高找解速度,程序不是简单地逐一生成所有候选解,而是从每个物品对候选解的影响来形成值得进一步考虑的候选解,一个候选解是通过依次考察每个物品形成的。对物品i的考察有这样几种情况:当该物品被包含在候选解中依旧满足解的总重量的限制,该物品被包含在候选解中是应该继续考虑的;反之,该物品不应该包括在当前正在形成的候选解中。同样地,仅当物品不被包括在候选解中,还是有可能找到比目前临时最佳解更好的候选解时,才去考虑该物品不被包括在候选解中;反之,该物品不包括在当前候选解中的方案也不应继续考虑。对于任一值得继续考虑的方案,程序就去进一步考虑下一个物品。 +]|J
【程序】 mnXaf)"
# include <stdio.h> T.W/S0#j3
# define N 100 W?R$+~G
double limitW; 88)0Xi|]KP
int cop[N]; oc-7gz)
struct ele { double weight; JT<Ia
double value; "Rs^0iT7>
} a[N]; }kXF*cVg
int k,n; 5'>(|7~%\
struct { int flg; Q:kpaMA1P
double tw; NCSb`SC:
double tv; Ra_6}k
}twv[N]; o~^hsm[44J
void next(int i,double tw,double tv) F/RV{} 17E
{ twv.flg=1; <6n(a)L1
twv.tw=tw; qdj,Qz9ly
twv.tv=tv;
6z=:x+m
} m=NX;t
double find(struct ele *a,int n) iAWPE`u4
{ int i,k,f; HPwmi[
double maxv,tw,tv,totv; jPA?0h
maxv=0; %qfEFhRC
for (totv=0.0,k=0;k<n;k++) r"U$udwjg
totv+=a[k].value; Yw+_( 2
9=
next(0,0.0,totv); xp>ra2A
i=0; 2lHJ&fck<
While (i>=0) 2f I?P
{ f=twv.flg; )BS./zD*[<
tw=twv.tw; D,1S-<
tv=twv.tv; 7=mU["raz`
switch(f) A@du*5>(
{ case 1: twv.flg++; > -Jd@7-
if (tw+a.weight<=limitW) A*~zdZ p
if (i<n-1) V!3O
1
{ next(i+1,tw+a.weight,tv); zj`!ZY?fv
i++; ~++y4NB8Q
} .#J'+LxFr
else =1yU&
PJ
{ maxv=tv; i>q]U:U
for (k=0;k<n;k++) R^fVwDl\
cop[k]=twv[k].flg!=0; Ck(D:
% ~s
} ~n|*-rca
break; #$X_,P|D
case 0: i--; [ZOo%"M_Y
break; Ry[VEn>C1
default: twv.flg=0; 07# ~cVI
if (tv-a.value>maxv) m[Px|A5{
if (i<n-1) )5)S8~Oc
{ next(i+1,tw,tv-a.value); }N*6xr*X+
i++; (PE"_80Z
} LYkW2h`JQ
else do7 [Nj
{ maxv=tv-a.value; Y*B}^!k6
for (k=0;k<n;k++) )DfmO
cop[k]=twv[k].flg!=0; xhj
A!\DS
} ]6W#P7
break; 2|kx:^D p
} >j_,3{eJ
} #:w/vk
return maxv; M8:gHjwsx
} @q],pD
S;a{wYF6v
void main() S;MS,R
{ double maxv; g
O,X
printf(“输入物品种数\n”); QrHI}r
scanf((“%d”,&n); 2YdMsu~
printf(“输入限制重量\n”); 2r,K/'
scanf(“%1f”,&limitW); [&j!g
printf(“输入各物品的重量和价值\n”); N3TkRJZ
for (k=0;k<n;k++) j{0_K+B
scanf(“%1f%1f”,&a[k].weight,&a[k].value); h~urZXD<
maxv=find(a,n); <hkg~4EKc
printf(“\n选中的物品为\n”); /4<eI3Z
for (k=0;k<n;k++) b`PAOQ
if (option[k]) printf(“%4d”,k+1); Nf%jLK~
printf(“\n总价值为%.2f\n”,maxv); qi.|oL9p
}