四、递归 a]
=
U-/{0zB
递归是设计和描述算法的一种有力的工具,由于它在复杂算法的描述中被经常采用,为此在进一步介绍其他算法设计方法之前先讨论它。 K"j_>63)
能采用递归描述的算法通常有这样的特征:为求解规模为N的问题,设法将它分解成规模较小的问题,然后从这些小问题的解方便地构造出大问题的解,并且这些规模较小的问题也能采用同样的分解和综合方法,分解成规模更小的问题,并从这些更小问题的解构造出规模较大问题的解。特别地,当规模N=1时,能直接得解。 VA*y|Q6
【问题】 编写计算斐波那契(Fibonacci)数列的第n项函数fib(n)。 D^%^xq)E
斐波那契数列为:0、1、1、2、3、……,即: ';Zi@f"
fib(0)=0; ~vlype3/EF
fib(1)=1; |w aIpB(
fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) (当n>1时)。 K*UgX(xu4P
写成递归函数有: #jA[9gWI
int fib(int n) .
8N.l^0,
{ if (n==0) return 0; ]0hrRA`
if (n==1) return 1; Mj[f~
if (n>1) return fib(n-1)+fib(n-2); JRCrZW}
} <S?ddp2
递归算法的执行过程分递推和回归两个阶段。在递推阶段,把较复杂的问题(规模为n)的求解推到比原问题简单一些的问题(规模小于n)的求解。例如上例中,求解fib(n),把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是说,为计算fib(n),必须先计算fib(n-1)和fib(n-2),而计算fib(n-1)和fib(n-2),又必须先计算fib(n-3)和fib(n-4)。依次类推,直至计算fib(1)和fib(0),分别能立即得到结果1和0。在递推阶段,必须要有终止递归的情况。例如在函数fib中,当n为1和0的情况。 Um#Wu]i
在回归阶段,当获得最简单情况的解后,逐级返回,依次得到稍复杂问题的解,例如得到fib(1)和fib(0)后,返回得到fib(2)的结果,……,在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的结果后,返回得到fib(n)的结果。 PxH72hBS
在编写递归函数时要注意,函数中的局部变量和参数知识局限于当前调用层,当递推进入“简单问题”层时,原来层次上的参数和局部变量便被隐蔽起来。在一系列“简单问题”层,它们各有自己的参数和局部变量。 D?XM,l+
由于递归引起一系列的函数调用,并且可能会有一系列的重复计算,递归算法的执行效率相对较低。当某个递归算法能较方便地转换成递推算法时,通常按递推算法编写程序。例如上例计算斐波那契数列的第n项的函数fib(n)应采用递推算法,即从斐波那契数列的前两项出发,逐次由前两项计算出下一项,直至计算出要求的第n项。 JRo?s~Ih
【问题】 组合问题 B#/Q'V
问题描述:找出从自然数1、2、……、n中任取r个数的所有组合。例如n=5,r=3的所有组合为: (1)5、4、3 (2)5、4、2 (3)5、4、1 ;4N;D
(4)5、3、2 (5)5、3、1 (6)5、2、1 >h0-;
(7)4、3、2 (8)4、3、1 (9)4、2、1 M9zfT!-
(10)3、2、1 {pM?5"MMJ
分析所列的10个组合,可以采用这样的递归思想来考虑求组合函数的算法。设函数为void comb(int m,int k)为找出从自然数1、2、……、m中任取k个数的所有组合。当组合的第一个数字选定时,其后的数字是从余下的m-1个数中取k-1数的组合。这就将求m个数中取k个数的组合问题转化成求m-1个数中取k-1个数的组合问题。设函数引入工作数组a[ ]存放求出的组合的数字,约定函数将确定的k个数字组合的第一个数字放在a[k]中,当一个组合求出后,才将a[ ]中的一个组合输出。第一个数可以是m、m-1、……、k,函数将确定组合的第一个数字放入数组后,有两种可能的选择,因还未去顶组合的其余元素,继续递归去确定;或因已确定了组合的全部元素,输出这个组合。细节见以下程序中的函数comb。 /|6;Z}2
【程序】 3gd&i
# include <stdio.h> oy<WsbnS
# define MAXN 100 8JmFi
int a[MAXN];
Uf}\p~;
void comb(int m,int k) C4TE-OM8
{ int i,j; s(X;Eha
for (i=m;i>=k;i--) P(F+f`T
{ a[k]=i; |$5[(6T|
if (k>1) #9K-7je;j
comb(i-1,k-1); ME'|saP
else _6ay-u
{ for (j=a[0];j>0;j--) RV@*c4KvO+
printf(“%4d”,a[j]); lz1wO5%h
printf(“\n”); xhcK~5C
} ZXm/A0)S
} 4:g R r
} 0}_[DAd6
giz7{Ai
void main() gz3pX#S
{ a[0]=3; x c{hC4^V
comb(5,3); x?&$ ci
} ,}K<*t[I
【问题】 背包问题 GnvL'ESa@M
问题描述:有不同价值、不同重量的物品n件,求从这n件物品中选取一部分物品的选择方案,使选中物品的总重量不超过指定的限制重量,但选中物品的价值之和最大。 bw\@W{a%q
设n件物品的重量分别为w0、w1、…、wn-1,物品的价值分别为v0、v1、…、vn-1。采用递归寻找物品的选择方案。设前面已有了多种选择的方案,并保留了其中总价值最大的方案于数组option[ ],该方案的总价值存于变量maxv。当前正在考察新方案,其物品选择情况保存于数组cop[ ]。假定当前方案已考虑了前i-1件物品,现在要考虑第i件物品;当前方案已包含的物品的重量之和为tw;至此,若其余物品都选择是可能的话,本方案能达到的总价值的期望值为tv。算法引入tv是当一旦当前方案的总价值的期望值也小于前面方案的总价值maxv时,继续考察当前方案变成无意义的工作,应终止当前方案,立即去考察下一个方案。因为当方案的总价值不比maxv大时,该方案不会被再考察,这同时保证函数后找到的方案一定会比前面的方案更好。 O)vp~@|
对于第i件物品的选择考虑有两种可能: b0oMs=uBn
(1) 考虑物品i被选择,这种可能性仅当包含它不会超过方案总重量限制时才是可行的。选中后,继续递归去考虑其余物品的选择。 -[-wkC8a
(2) 考虑物品i不被选择,这种可能性仅当不包含物品i也有可能会找到价值更大的方案的情况。 RjN{%YkXe
按以上思想写出递归算法如下: ..rOsg{
try(物品i,当前选择已达到的重量和,本方案可能达到的总价值tv)
"~'b
{ /*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/ g) -bW+]q
if(包含物品i是可以接受的) Yk=PS[f
{ 将物品i包含在当前方案中; "I(xgx*
if (i<n-1) jy'13G/b\
try(i+1,tw+物品i的重量,tv); z[Xd%mhjO
else P#AW\d^"B
/*又一个完整方案,因为它比前面的方案好,以它作为最佳方案*/ TqnTS0fx
以当前方案作为临时最佳方案保存; >y,-v:Vy
恢复物品i不包含状态; %n*-VAfE\
} D-c`FG'
/*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/ 'q`^3&E
if (不包含物品i仅是可男考虑的) cFJY^A
if (i<n-1) E~6c -Lw
try(i+1,tw,tv-物品i的价值); vh$%9ed
else %f]:I
/*又一个完整方案,因它比前面的方案好,以它作为最佳方案*/ <_7*67{
以当前方案作为临时最佳方案保存; P'_H/r/#
} 0\e IQp
为了理解上述算法,特举以下实例。设有4件物品,它们的重量和价值见表: wp&=$Aa)'
物品 0 1 2 3 I1X-s
重量 5 3 2 1 EKO[ !,
价值 4 4 3 1 AB4(+S*LA
"men
并设限制重量为7。则按以上算法,下图表示找解过程。由图知,一旦找到一个解,算法就进一步找更好的佳。如能判定某个查找分支不会找到更好的解,算法不会在该分支继续查找,而是立即终止该分支,并去考察下一个分支。 pej|!oX
4T ~}
按上述算法编写函数和程序如下: ml+; Rmvb
【程序】 %
yw?s0
# include <stdio.h> a24"yT
# define N 100 sfNE68I2
double limitW,totV,maxV; !4X
f~P
int option[N],cop[N]; I"ok&^t^}
struct { double weight; }|pwz
double value; R#I0|;q4|p
}a[N]; 1]p ZrBh"E
int n; ZusEfh?
void find(int i,double tw,double tv) X<I+&Zi
{ int k; GaK-t*Q
/*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/ e7sp =I,
if (tw+a.weight<=limitW) j-lfMEa$o
{ cop=1; qHrc9fB
if (i<n-1) find(i+1,tw+a.weight,tv); +8Rg F
else p"KFJ
{ for (k=0;k<n;k++) T:=lz:}I
option[k]=cop[k]; fSokm4]vg
maxv=tv; E
S //
} !*7 vFl
cop=0; )84 ~ugs
} l`f/4vy
/*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/ N$U$5;r~`
if (tv-a.value>maxV) md"!33 @
if (i<n-1) find(i+1,tw,tv-a.value); c"B{/;A
else G6$kv2(k`@
{ for (k=0;k<n;k++) *Qg _F6y
option[k]=cop[k]; >LOjV0K/
maxv=tv-a.value; 75XJL;W #
} PoxK{Y
} {?:X8&Sf
,X`)ct
void main() 6">+
~
G
{ int k; ,g2ij
double w,v; xLK<W"%0
printf(“输入物品种数\n”);
zem8G2#c
scanf((“%d”,&n); m}7iTDJR9
printf(“输入各物品的重量和价值\n”); \1^^\G>H5
for (totv=0.0,k=0;k<n;k++) K<>oa[B9
{ scanf(“%1f%1f”,&w,&v); XovRg,
a[k].weight=w; YS/Yd[ e
a[k].value=v; hoK>~:;
totV+=V; .y!<t}
} 9_Be0xgJ3^
printf(“输入限制重量\n”); 2AT5
scanf(“%1f”,&limitV); H|3:6x
maxv=0.0; Uq^#r iq
for (k=0;k<n;k++) cop[k]=0; zh8nc%X{
find(0,0.0,totV); Vex{.Vh,"
for (k=0;k<n;k++) Cv6'`",Yzm
if (option[k]) printf(“%4d”,k+1); _V7s#_p
printf(“\n总价值为%.2f\n”,maxv); x!5'`A!W%
} Vl&?U
作为对比,下面以同样的解题思想,考虑非递归的程序解。为了提高找解速度,程序不是简单地逐一生成所有候选解,而是从每个物品对候选解的影响来形成值得进一步考虑的候选解,一个候选解是通过依次考察每个物品形成的。对物品i的考察有这样几种情况:当该物品被包含在候选解中依旧满足解的总重量的限制,该物品被包含在候选解中是应该继续考虑的;反之,该物品不应该包括在当前正在形成的候选解中。同样地,仅当物品不被包括在候选解中,还是有可能找到比目前临时最佳解更好的候选解时,才去考虑该物品不被包括在候选解中;反之,该物品不包括在当前候选解中的方案也不应继续考虑。对于任一值得继续考虑的方案,程序就去进一步考虑下一个物品。 ,-8"R`UI8
【程序】 DtXrWS/
# include <stdio.h> VY
| _dk
# define N 100 t*Sa@$p
double limitW; 3G}x;Cp\D
int cop[N]; 1g8_Xe4
struct ele { double weight; nn@-W]
double value; "_-Po^u=r
} a[N]; %A1o.{H
int k,n; TO]@
Zu1
struct { int flg; ~*z% e*EL
double tw; RtTJ5@V(
double tv; |$8~?7Jv
}twv[N]; =P't(<
void next(int i,double tw,double tv) zv0l,-o
{ twv.flg=1; Yc_8r+;(
twv.tw=tw; p<2L.\6"
twv.tv=tv; 2^h27A
} <m)$K
double find(struct ele *a,int n) D$
dfNiCH
{ int i,k,f; Xg|B \\
double maxv,tw,tv,totv; J:CXW%\ <q
maxv=0; 1OCeN%4]Qk
for (totv=0.0,k=0;k<n;k++) o<BOYrS
totv+=a[k].value; .HS"}A T
next(0,0.0,totv); BJ$9vbhZN
i=0; {< )1q ;
While (i>=0) $'BSH4~|.
{ f=twv.flg; Pg,b-W?n*
tw=twv.tw; dJJP3}M/
tv=twv.tv; G_bG
switch(f) We$:&K0
{ case 1: twv.flg++; E ~Sb
if (tw+a.weight<=limitW) ,?8qpEG~#+
if (i<n-1) ORe(]I`Z
{ next(i+1,tw+a.weight,tv); /uPcXq:L~
i++; ?Y-%'J(
} LlX{#R
else 8@i7pBl@
{ maxv=tv; xjfV?B'Y}V
for (k=0;k<n;k++) :W!7mna
cop[k]=twv[k].flg!=0; %7zuQ \w
} _}lZ,L(w
break; qE&v ;
case 0: i--; YVQN&|-
break; PRu 6xsyA
default: twv.flg=0; .7e2YI,S
if (tv-a.value>maxv) #hfXZVD
if (i<n-1) \KMToN&2
{ next(i+1,tw,tv-a.value); !=;+%C&8y
i++; @$S+ Ne[<
} S%bCyK%p
else & ?h#Z!
{ maxv=tv-a.value; s.bc>E0
for (k=0;k<n;k++) 27
]':A4_
cop[k]=twv[k].flg!=0; TSTl+W
} ]zj9A]i:a
break; R "n5
} ^U
`[(kz=
} Ixb=L(V
return maxv; 2|3)S`WZl
} RQ vft
z:8eEq3w
void main() qkt0**\
{ double maxv; =
s>T;|
printf(“输入物品种数\n”); Vq2y4D?
scanf((“%d”,&n); lD)%s!
printf(“输入限制重量\n”); #pP[xE"Y
scanf(“%1f”,&limitW); R)_%i<nq\
printf(“输入各物品的重量和价值\n”); fol,xMc&
for (k=0;k<n;k++) tNO-e|~'
scanf(“%1f%1f”,&a[k].weight,&a[k].value); HJLu'KY}
maxv=find(a,n); K&vF0*gN3
printf(“\n选中的物品为\n”); R<\F:9
for (k=0;k<n;k++) RN$1bxY
if (option[k]) printf(“%4d”,k+1); /1"(cQ%?
printf(“\n总价值为%.2f\n”,maxv); {G U&a
}