六、贪婪法 $R6iG\V5
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W
贪婪法是一种不追求最优解，只希望得到较为满意解的方法。贪婪法一般可以快速得到满意的解，因为它省去了为找最优解要穷尽所有可能而必须耗费的大量时间。贪婪法常以当前情况为基础作最优选择，而不考虑各种可能的整体情况，所以贪婪法不要回溯。 <+o* "z\mI
例如平时购物找钱时，为使找回的零钱的硬币数最少，不考虑找零钱的所有各种发表方案，而是从最大面值的币种开始，按递减的顺序考虑各币种，先尽量用大面值的币种，当不足大面值币种的金额时才去考虑下一种较小面值的币种。这就是在使用贪婪法。这种方法在这里总是最优，是因为银行对其发行的硬币种类和硬币面值的巧妙安排。如只有面值分别为1、5和11单位的硬币，而希望找回总额为15单位的硬币。按贪婪算法，应找1个11单位面值的硬币和4个1单位面值的硬币，共找回5个硬币。但最优的解应是3个5单位面值的硬币。 1$mxMXNsJ
【问题】 装箱问题 'Km
~3t
问题描述：装箱问题可简述如下：设有编号为0、1、…、n-1的n种物品，体积分别为v0、v1、…、vn-1。将这n种物品装到容量都为V的若干箱子里。约定这n种物品的体积均不超过V，即对于0≤i＜n，有0＜vi≤V。不同的装箱方案所需要的箱子数目可能不同。装箱问题要求使装尽这n种物品的箱子数要少。 sxc^n
aK0
若考察将n种物品的集合分划成n个或小于n个物品的所有子集，最优解就可以找到。但所有可能划分的总数太大。对适当大的n，找出所有可能的划分要花费的时间是无法承受的。为此，对装箱问题采用非常简单的近似算法，即贪婪法。该算法依次将物品放到它第一个能放进去的箱子中，该算法虽不能保证找到最优解，但还是能找到非常好的解。不失一般性，设n件物品的体积是按从大到小排好序的，即有v0≥v1≥…≥vn-1。如不满足上述要求，只要先对这n件物品按它们的体积从大到小排序，然后按排序结果对物品重新编号即可。装箱算法简单描述如下： ;r'y/ Y'?
{ 输入箱子的容积； E0?R,+>&4
输入物品种数n； 6:_@ ;/03%
按体积从大到小顺序，输入各物品的体积； `< _A#@
预置已用箱子链为空； qmQ}
预置已用箱子计数器box_count为0； vM G >Xb
for (i=0;i<n;i++) -hL 0}Wy$N
{ 从已用的第一只箱子开始顺序寻找能放入物品i 的箱子j； [&y ="6No
if （已用箱子都不能再放物品i） s[ < a(
{ 另用一个箱子，并将物品i放入该箱子； 3*INDD=
box_count++； =)QtE|p,77
} {<$ D|<S
else %8C,9q
将物品i放入箱子j； <j\os w1R
} max 5s$@
} TNun)0p
上述算法能求出需要的箱子数box_count，并能求出各箱子所装物品。下面的例子说明该算法不一定能找到最优解，设有6种物品，它们的体积分别为：60、45、35、20、20和20单位体积，箱子的容积为100个单位体积。按上述算法计算，需三只箱子，各箱子所装物品分别为：第一只箱子装物品1、3；第二只箱子装物品2、4、5；第三只箱子装物品6。而最优解为两只箱子，分别装物品1、4、5和2、3、6。 +p Ma-{
若每只箱子所装物品用链表来表示，链表首结点指针存于一个结构中，结构记录尚剩余的空间量和该箱子所装物品链表的首指针。另将全部箱子的信息也构成链表。以下是按以上算法编写的程序。 Zfwhg4G~
【程序】 V}=%/OY?
# include <stdio.h> T .#cd1b
# include <stdlib.h> *XN|ZGl/
typedef struct ele [ =/Yo1:v
{ int vno; 9NzK1V0X
struct ele *link; _%M+!Ltz
} ELE; 6WI -ZEVp&
typedef struct hnode
P}kBqMM
{ int remainder; p>x[:*
ELE *head; (h&XtFul}
Struct hnode *next; #WE"nh9f|z
} HNODE; 8d4:8}
ct o +W}k
void main() e8E*Urtz
{ int n, i, box_count, box_volume, *a; w2 %u;D%
HNODE *box_h, *box_t, *j; fyHFfPEE
ELE *p, *q; }enS'Fpf`
Printf(“输入箱子容积\n”); /w[B,_ZKTk
Scanf(“%d”,&box_volume); "&9L
Printf(“输入物品种数\n”); xbUL./uj
Scanf(“%d”,&n); 5l_ >QB
A=(int *)malloc(sizeof(int)*n); (_2Iu%F
Printf(“请按体积从大到小顺序输入各物品的体积：”); CB!5>k+mC
For (i=0;i<n;i++) scanf(“%d”,a+i); H| UGR ~&
Box_h=box_t=NULL; 7c.96FA
Box_count=0; Jeb "t1.$
For (i=0;i<n;i++) .C HET]
{ p=(ELE *)malloc(sizeof(ELE)); &> %R)?SZh
p->vno=i; nrFuhW\r
for (j=box_h;j!=NULL;j=j->next) J]h$4"
if (j->remainder>=a) break; x{'3eJ^ 8
if (j==NULL) BeR7LV
{ j=(HNODE *)malloc(sizeof(HNODE)); Aho zrroV
j->remainder=box_volume-a; dio<?6ZD9P
j->head=NULL; m% $GiNs}
if (box_h==NULL) box_h=box_t=j; 0;J#". (KQ
else box_t=boix_t->next=j; 8VWkUsOo I
j->next=NULL; "K Or)QD/
box_count++;
iwiHw
} ` @PHV
else j->remainder-=a; 40?xu#"
for (q=j->next;q!=NULL&&q->link!=NULL;q=q->link); <q}w, XU
if (q==NULL) PJ $C$G
{ p->link=j->head; .
W7Z pV
j->head=p; ng0tNifZ;
} d x.,
else s8O.yL
{ p->link=NULL; *- S/{
.&
q->link=p; !<EQVqj6
} pwIu;:O!?
} UgqfO(
printf(“共使用了%d只箱子”，box_count); QXaE2}}P
printf(“各箱子装物品情况如下：”); th
:I31
for (j=box_h,i=1;j!=NULL;j=j->next,i++) n7A %y2
{ printf(“第%2d只箱子，还剩余容积%4d，所装物品有；\n”,I,j->remainder); 'nx";[6(
for (p=j->head;p!=NULL;p=p->link) Q|$?d4La8
printf(“%4d”,p->vno+1); t%k1=Ow5i
printf(“\n”); ., vF% pQ
} M94zlW<
} F ]qX}
【问题】 马的遍历 #&$a7L}
问题描述：在8×8方格的棋盘上，从任意指定的方格出发，为马寻找一条走遍棋盘每一格并且只经过一次的一条路径。 B8G9V6KS-
马在某个方格，可以在一步内到达的不同位置最多有8个，如图所示。如用二维数组board[ ][ ]表示棋盘，其元素记录马经过该位置时的步骤号。另对马的8种可能走法（称为着法）设定一个顺序，如当前位置在棋盘的（i，j）方格，下一个可能的位置依次为（i+2，j+1）、（i+1，j+2）、（i-1，j+2）、（i-2，j+1）、（i-2，j-1）、（i-1，j-2）、（i+1，j-2）、（i+2，j-1），实际可以走的位置尽限于还未走过的和不越出边界的那些位置。为便于程序的同意处理，可以引入两个数组，分别存储各种可能走法对当前位置的纵横增量。 e 6
&-f
4 3 sJ3O ]
5 2 xPcH]Gs^b
马 J$+K't5BZ
6 1 U??T>
7 0 )Nj xKSiU@
FS+v YqwK
对于本题，一般可以采用回溯法，这里采用Warnsdoff策略求解，这也是一种贪婪法，其选择下一出口的贪婪标准是在那些允许走的位置中，选择出口最少的那个位置。如马的当前位置（i，j）只有三个出口，他们是位置（i+2，j+1）、（i-2，j+1）和（i-1，j-2），如分别走到这些位置，这三个位置又分别会有不同的出口，假定这三个位置的出口个数分别为4、2、3，则程序就选择让马走向（i-2，j+1）位置。 !dcG Bj
由于程序采用的是一种贪婪法，整个找解过程是一直向前，没有回溯，所以能非常快地找到解。但是，对于某些开始位置，实际上有解，而该算法不能找到解。对于找不到解的情况，程序只要改变8种可能出口的选择顺序，就能找到解。改变出口选择顺序，就是改变有相同出口时的选择标准。以下程序考虑到这种情况，引入变量start，用于控制8种可能着法的选择顺序。开始时为0，当不能找到解时，就让start增1，重新找解。细节以下程序。 |0wHNRN_
【程序】 !kpnBgm U
# include <stdio.h> ^7p>p8
int delta_i[ ]={2,1,-1,-2,-2,-1,1,2}; <jjn'*44f
int delta_j[ ]={1,2,2,1,-1,-2,-2,-1}; S&q(PI_"
int board[8][8]; th4yuDPuA
int exitn(int i,int j,int s,int a[ ]) ,ve$bSp
{ int i1,j1,k,count; Zqp<8M2
for (count=k=0;k<8;k++) . a@> 1XO
{ i1=i+delta_i[(s+k)%8]; 8T]x4JQ0
j1=i+delta_j[(s+k)%8]; pD@2Mt0|]=
if (i1>=0&&i1<8&&j1>=0&&j1<8&&board[I1][j1]==0) n[f<]4<
a[count++]=(s+k)%8; IncHY?ud<
} _+0Q Q{'N
return count; kv8
/UW
} jI%g!
Q($.s=&l;
int next(int i,int j,int s) 2 D vKW%;
{ int m,k,mm,min,a[8],b[8],temp; '#*5jn]CqB
m=exitn(i,j,s,a); 8lJMD %Df:
if (m==0) return –1; )=9EShz!
for (min=9,k=0;k<m;k++) zZh \ e,*
{ temp=exitn(I+delta_i[a[k]],j+delta_j[a[k]],s,b); C)H1<Br7
if (temp<min) +\D?H.P
{ min=temp; " Vw;y+F}
kk=a[k]; WU:r:m+
>
} VNggDKS~K
} 13f@Ox$
return kk; _?m%i]~o
} 7[/1uI9U8K
7j//x Tr}a
void main() C HGV1X,
{ int sx,sy,i,j,step,no,start; xlHC?d0}
for (sx=0;sx<8;sx++) 3[ T<pAZ
for (sy=0;sy<8;sy++) ?c7}
v
{ start=0; ]ysEj3
do { jWE?$r"
for (i=0;i<8;i++) sfUKH;xC
for (j=0;j<8;j++) >P_/a,O8
board[j]=0; I `I+7~t
board[sx][sy]=1; $TK<~3`
I=sx; j=sy; %9HL "
For (step=2;step<64;step++) 9~lC/I')t
{ if ((no=next(i,j,start))==-1) break; 4xl}kmvv
I+=delta_i[no]; caC-JcDXy
j+=delta_j[no]; {wS)M
board[j]=step; {zmh0c; |
} pI]tv@ >:f
if (step>64) break; 5;4bZ3e,0
start++; %]iE(!>3oy
} while(step<=64) ,JVWn>s
for (i=0;i<8;i++) AzlZe\V?)~
{ for (j=0;j<8;j++) um}%<Cy[
printf(“%4d”,board[j]); %.nZ@';.
printf(“\n\n”); P)9$}9i
} mu/GOEZ5
scanf(“%*c”); ?V9Da;cj
} r,FPTf
}
