四、递归 Pe@*')o*
pc;`Fz/`7
递归是设计和描述算法的一种有力的工具,由于它在复杂算法的描述中被经常采用,为此在进一步介绍其他算法设计方法之前先讨论它。 )t$-/8
能采用递归描述的算法通常有这样的特征:为求解规模为N的问题,设法将它分解成规模较小的问题,然后从这些小问题的解方便地构造出大问题的解,并且这些规模较小的问题也能采用同样的分解和综合方法,分解成规模更小的问题,并从这些更小问题的解构造出规模较大问题的解。特别地,当规模N=1时,能直接得解。 U<"k-
【问题】 编写计算斐波那契(Fibonacci)数列的第n项函数fib(n)。 cfHtUv
斐波那契数列为:0、1、1、2、3、……,即: D#d/?\2
fib(0)=0; )c.!3n/pb
fib(1)=1; 2UTmQOm
fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) (当n>1时)。 -LlS9[r0
写成递归函数有: 1gX$U00:
int fib(int n) :79u2wSh
{ if (n==0) return 0; ]'0}fuV
if (n==1) return 1; /7WdG)'
if (n>1) return fib(n-1)+fib(n-2); `_3Gb
} ?4_ME3$t
递归算法的执行过程分递推和回归两个阶段。在递推阶段,把较复杂的问题(规模为n)的求解推到比原问题简单一些的问题(规模小于n)的求解。例如上例中,求解fib(n),把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是说,为计算fib(n),必须先计算fib(n-1)和fib(n-2),而计算fib(n-1)和fib(n-2),又必须先计算fib(n-3)和fib(n-4)。依次类推,直至计算fib(1)和fib(0),分别能立即得到结果1和0。在递推阶段,必须要有终止递归的情况。例如在函数fib中,当n为1和0的情况。 t*Z4&Sy^
在回归阶段,当获得最简单情况的解后,逐级返回,依次得到稍复杂问题的解,例如得到fib(1)和fib(0)后,返回得到fib(2)的结果,……,在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的结果后,返回得到fib(n)的结果。 .F0Q<s9
在编写递归函数时要注意,函数中的局部变量和参数知识局限于当前调用层,当递推进入“简单问题”层时,原来层次上的参数和局部变量便被隐蔽起来。在一系列“简单问题”层,它们各有自己的参数和局部变量。 h<g2aL21?F
由于递归引起一系列的函数调用,并且可能会有一系列的重复计算,递归算法的执行效率相对较低。当某个递归算法能较方便地转换成递推算法时,通常按递推算法编写程序。例如上例计算斐波那契数列的第n项的函数fib(n)应采用递推算法,即从斐波那契数列的前两项出发,逐次由前两项计算出下一项,直至计算出要求的第n项。 VD+v\X_
【问题】 组合问题 n_6#Df*
问题描述:找出从自然数1、2、……、n中任取r个数的所有组合。例如n=5,r=3的所有组合为: (1)5、4、3 (2)5、4、2 (3)5、4、1 7_L$ XIa
(4)5、3、2 (5)5、3、1 (6)5、2、1 t~Qj$:\
(7)4、3、2 (8)4、3、1 (9)4、2、1 -CTLQyj)
(10)3、2、1 a*nCvZ
分析所列的10个组合,可以采用这样的递归思想来考虑求组合函数的算法。设函数为void comb(int m,int k)为找出从自然数1、2、……、m中任取k个数的所有组合。当组合的第一个数字选定时,其后的数字是从余下的m-1个数中取k-1数的组合。这就将求m个数中取k个数的组合问题转化成求m-1个数中取k-1个数的组合问题。设函数引入工作数组a[ ]存放求出的组合的数字,约定函数将确定的k个数字组合的第一个数字放在a[k]中,当一个组合求出后,才将a[ ]中的一个组合输出。第一个数可以是m、m-1、……、k,函数将确定组合的第一个数字放入数组后,有两种可能的选择,因还未去顶组合的其余元素,继续递归去确定;或因已确定了组合的全部元素,输出这个组合。细节见以下程序中的函数comb。
wKbU}29c
【程序】 Pt/F$A{Cj
# include <stdio.h> b\UE+\a&
# define MAXN 100 )vGxF}I3
int a[MAXN]; O*>`md?MH
void comb(int m,int k) +[[^W;<.l
{ int i,j; R'^J#"[
for (i=m;i>=k;i--) eo&G@zwN
{ a[k]=i; zuJ@@\75
if (k>1) m=60a@o]
comb(i-1,k-1); g2YE^EKU~
else 4UMOC_
{ for (j=a[0];j>0;j--) z7&m,:M
printf(“%4d”,a[j]); =RHIB1
printf(“\n”); xN!In-v[j;
} Xj<xen(
} 4@M`BH`
} 9dva]$^:*1
7MhaLkB_6
void main() :,.HJ[Vg&
{ a[0]=3; jEL"Q?#
comb(5,3); ((6?b5[
} {v2[x W
【问题】 背包问题 sl)]yCD|5
问题描述:有不同价值、不同重量的物品n件,求从这n件物品中选取一部分物品的选择方案,使选中物品的总重量不超过指定的限制重量,但选中物品的价值之和最大。 1 ;Uc-<
设n件物品的重量分别为w0、w1、…、wn-1,物品的价值分别为v0、v1、…、vn-1。采用递归寻找物品的选择方案。设前面已有了多种选择的方案,并保留了其中总价值最大的方案于数组option[ ],该方案的总价值存于变量maxv。当前正在考察新方案,其物品选择情况保存于数组cop[ ]。假定当前方案已考虑了前i-1件物品,现在要考虑第i件物品;当前方案已包含的物品的重量之和为tw;至此,若其余物品都选择是可能的话,本方案能达到的总价值的期望值为tv。算法引入tv是当一旦当前方案的总价值的期望值也小于前面方案的总价值maxv时,继续考察当前方案变成无意义的工作,应终止当前方案,立即去考察下一个方案。因为当方案的总价值不比maxv大时,该方案不会被再考察,这同时保证函数后找到的方案一定会比前面的方案更好。 nHQWO
对于第i件物品的选择考虑有两种可能: qU ,{jD$
(1) 考虑物品i被选择,这种可能性仅当包含它不会超过方案总重量限制时才是可行的。选中后,继续递归去考虑其余物品的选择。 p & i+i
(2) 考虑物品i不被选择,这种可能性仅当不包含物品i也有可能会找到价值更大的方案的情况。 MSe>1L2=
按以上思想写出递归算法如下: AH^ud*3F
try(物品i,当前选择已达到的重量和,本方案可能达到的总价值tv) sRC?l_n;
{ /*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/ S) `@)sr
if(包含物品i是可以接受的) qCm8R@
{ 将物品i包含在当前方案中; VwT&A9&{8
if (i<n-1) 5e^z]j1Yv
try(i+1,tw+物品i的重量,tv); 5a:YzQ4
else OUy}1%HY
/*又一个完整方案,因为它比前面的方案好,以它作为最佳方案*/ <'~6L#>,<
以当前方案作为临时最佳方案保存; "7w=LhzV[$
恢复物品i不包含状态; 'T]Ok\
} -gv[u,R
/*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/ %Lp#2?*
if (不包含物品i仅是可男考虑的) L#N]1#;
if (i<n-1) lN*"?%<x>
try(i+1,tw,tv-物品i的价值); +^[SXI^JaJ
else Q'aVdJN,
/*又一个完整方案,因它比前面的方案好,以它作为最佳方案*/ %U9f`qE
以当前方案作为临时最佳方案保存; +a^0Q
F-7
} QiNLE'19^
为了理解上述算法,特举以下实例。设有4件物品,它们的重量和价值见表: 27Vx<W
物品 0 1 2 3 &Zo+F]3d
重量 5 3 2 1 D 75;Y;E
价值 4 4 3 1 \OkJX_7
E4<#6q
并设限制重量为7。则按以上算法,下图表示找解过程。由图知,一旦找到一个解,算法就进一步找更好的佳。如能判定某个查找分支不会找到更好的解,算法不会在该分支继续查找,而是立即终止该分支,并去考察下一个分支。 g+-^6UG
dlMjy$/T
按上述算法编写函数和程序如下: ESuP ZB
【程序】 '2SZ]
# include <stdio.h> U}GO* +
# define N 100 1/A|$t[
double limitW,totV,maxV; 5qkyi]/U8
int option[N],cop[N]; ',I$`h
struct { double weight; sRflabl *x
double value; _Bhd@S!
}a[N]; =P,pW
int n; Kn}Y7B{
void find(int i,double tw,double tv) pAyUQe;X#
{ int k; R4S))EHg
/*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/ )#,a'~w
if (tw+a.weight<=limitW) h3Nbgxa.
{ cop=1; -$`q:j
if (i<n-1) find(i+1,tw+a.weight,tv); fdgjTX
else BipD8`a
{ for (k=0;k<n;k++) eH%i8a
option[k]=cop[k]; F`.W 9H3
maxv=tv; BfQ#5
} 0,6!6>BOT
cop=0; B.#-@
} >bg{
/*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/ hfs QAa
if (tv-a.value>maxV) bUc++M
if (i<n-1) find(i+1,tw,tv-a.value); {T3wOi
else X @X`,/{X
{ for (k=0;k<n;k++) iN2591S
option[k]=cop[k]; tD]vx`0>
maxv=tv-a.value; LftzW{>gI"
} jK2gc^"t
} )9+H[
E>F6!qYm
void main() peVzF'F
{ int k; UFeQ%oRa8
double w,v; }U**)"
printf(“输入物品种数\n”); ^j<2s"S
scanf((“%d”,&n); }p*WH$!~
printf(“输入各物品的重量和价值\n”); M+7jJ?n
for (totv=0.0,k=0;k<n;k++) kMg[YQ]OC
{ scanf(“%1f%1f”,&w,&v); ZC)m&V1
a[k].weight=w; `-5gsJ
a[k].value=v; (lvp-<*
totV+=V; _SQ]\Z
} $Y%,?>AL<
printf(“输入限制重量\n”); tNxKpA |F
scanf(“%1f”,&limitV); v5.KCc}"
maxv=0.0; 5E2T*EXSh
for (k=0;k<n;k++) cop[k]=0; * K0aR!
find(0,0.0,totV); f_IsY+@
for (k=0;k<n;k++) -90X^]
if (option[k]) printf(“%4d”,k+1); %/RT}CBBsW
printf(“\n总价值为%.2f\n”,maxv); +<WNAmh
} Z;6?,5OSc
作为对比,下面以同样的解题思想,考虑非递归的程序解。为了提高找解速度,程序不是简单地逐一生成所有候选解,而是从每个物品对候选解的影响来形成值得进一步考虑的候选解,一个候选解是通过依次考察每个物品形成的。对物品i的考察有这样几种情况:当该物品被包含在候选解中依旧满足解的总重量的限制,该物品被包含在候选解中是应该继续考虑的;反之,该物品不应该包括在当前正在形成的候选解中。同样地,仅当物品不被包括在候选解中,还是有可能找到比目前临时最佳解更好的候选解时,才去考虑该物品不被包括在候选解中;反之,该物品不包括在当前候选解中的方案也不应继续考虑。对于任一值得继续考虑的方案,程序就去进一步考虑下一个物品。 `(~oZbErM
【程序】 8>DX
:`
# include <stdio.h> cq8JpSB(
# define N 100 T|uG1
double limitW; YyC$\HH6
int cop[N]; >FL%H=]
struct ele { double weight; Tlk!6A:
double value; *+ +}ll6
} a[N]; ![m6$G{y
int k,n; ilQt`-O!
struct { int flg; &Vg)/t;
double tw; e)|5P
double tv; |43Oc:Ah+
}twv[N]; 'NDr$Qc3
void next(int i,double tw,double tv) r^,"OM]
{ twv.flg=1; #}[NleTVt
twv.tw=tw; KqXPxp^_Al
twv.tv=tv; Lo}zT-F
} i L'j9_w,
double find(struct ele *a,int n) ;6*$!^*w
{ int i,k,f; ne=CN!=
double maxv,tw,tv,totv; Bu4@FIK!C
maxv=0; A#]78lR
for (totv=0.0,k=0;k<n;k++) Xkf|^-n
totv+=a[k].value; [vxHsY3z
next(0,0.0,totv); "nU] 2
i=0; ,m5tO
While (i>=0) iO}KERfU
{ f=twv.flg; 1/c+ug!y
tw=twv.tw; B9]bv]
tv=twv.tv; &,$N|$yK}|
switch(f) Jl ?_GX}ZY
{ case 1: twv.flg++;
g hW
if (tw+a.weight<=limitW) p-,Bq!aG$
if (i<n-1) *Z3b6X'e
{ next(i+1,tw+a.weight,tv); /$|-!e<5b\
i++; LB^xdMXi
} U"L-1]L
else BxB B](
{ maxv=tv; lDZ~
for (k=0;k<n;k++) l_zTpyOZ
cop[k]=twv[k].flg!=0; Cw~fP[5XMF
} >txeo17Ba\
break; 5e&;f
case 0: i--; %.;;itB
break; C9eisUM
default: twv.flg=0; ]aYuBoj
if (tv-a.value>maxv) 2h1P!4W85
if (i<n-1) q<4{&omUJ
{ next(i+1,tw,tv-a.value); }bnodb^.7
i++; 4TSkm`iR
} 8I0G%hD
else DDZnNSo<JQ
{ maxv=tv-a.value; 1tl qw
for (k=0;k<n;k++) vZXdc+2l
cop[k]=twv[k].flg!=0; @6H 7
} S]Aaf-X_
break; J@qLBe(v
} U"a7myB+jX
} i_av_I-
return maxv; =sk#`,,:
} {5c]\{O?[
j2mMm/kq\
void main() Qki?
>j"
{ double maxv; TwKi_nh2m
printf(“输入物品种数\n”); =tl~@~pqI
scanf((“%d”,&n); Pxgul7
printf(“输入限制重量\n”); *TPWLR ^
scanf(“%1f”,&limitW); Y /l~R7
printf(“输入各物品的重量和价值\n”); GF*uDJ Kp
for (k=0;k<n;k++) hbs /S
scanf(“%1f%1f”,&a[k].weight,&a[k].value); hd)WdGJp
maxv=find(a,n); DkW^gt
printf(“\n选中的物品为\n”); \+k~p:d_8
for (k=0;k<n;k++) [<nd+3E
if (option[k]) printf(“%4d”,k+1); )-25?B
printf(“\n总价值为%.2f\n”,maxv); `tl -] ^Y2
}