四、递归 {TUCa
v }P~g
递归是设计和描述算法的一种有力的工具,由于它在复杂算法的描述中被经常采用,为此在进一步介绍其他算法设计方法之前先讨论它。 cS{ l2}E
能采用递归描述的算法通常有这样的特征:为求解规模为N的问题,设法将它分解成规模较小的问题,然后从这些小问题的解方便地构造出大问题的解,并且这些规模较小的问题也能采用同样的分解和综合方法,分解成规模更小的问题,并从这些更小问题的解构造出规模较大问题的解。特别地,当规模N=1时,能直接得解。 iHQFieZ.E
【问题】 编写计算斐波那契(Fibonacci)数列的第n项函数fib(n)。 I%{U~
斐波那契数列为:0、1、1、2、3、……,即: KAEf4/
fib(0)=0; cF,u)+2b|6
fib(1)=1; D {>,2hC
fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) (当n>1时)。 $#"}g#u
写成递归函数有: ,3N8
int fib(int n) (;Lz`r'
{ if (n==0) return 0; F)v+.5T1
if (n==1) return 1; @{t^8I#]
if (n>1) return fib(n-1)+fib(n-2); TSE(Kt
} "fz-h
递归算法的执行过程分递推和回归两个阶段。在递推阶段,把较复杂的问题(规模为n)的求解推到比原问题简单一些的问题(规模小于n)的求解。例如上例中,求解fib(n),把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是说,为计算fib(n),必须先计算fib(n-1)和fib(n-2),而计算fib(n-1)和fib(n-2),又必须先计算fib(n-3)和fib(n-4)。依次类推,直至计算fib(1)和fib(0),分别能立即得到结果1和0。在递推阶段,必须要有终止递归的情况。例如在函数fib中,当n为1和0的情况。 Ig$5Ui
在回归阶段,当获得最简单情况的解后,逐级返回,依次得到稍复杂问题的解,例如得到fib(1)和fib(0)后,返回得到fib(2)的结果,……,在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的结果后,返回得到fib(n)的结果。 @0B<b7Jv
在编写递归函数时要注意,函数中的局部变量和参数知识局限于当前调用层,当递推进入“简单问题”层时,原来层次上的参数和局部变量便被隐蔽起来。在一系列“简单问题”层,它们各有自己的参数和局部变量。 Bg7?1m
由于递归引起一系列的函数调用,并且可能会有一系列的重复计算,递归算法的执行效率相对较低。当某个递归算法能较方便地转换成递推算法时,通常按递推算法编写程序。例如上例计算斐波那契数列的第n项的函数fib(n)应采用递推算法,即从斐波那契数列的前两项出发,逐次由前两项计算出下一项,直至计算出要求的第n项。 {"4t`dM
【问题】 组合问题 V 9=y@`;
问题描述:找出从自然数1、2、……、n中任取r个数的所有组合。例如n=5,r=3的所有组合为: (1)5、4、3 (2)5、4、2 (3)5、4、1 swlxV@NQ
(4)5、3、2 (5)5、3、1 (6)5、2、1 TpMfk7-
(7)4、3、2 (8)4、3、1 (9)4、2、1 ]l+2Ca:-[j
(10)3、2、1 x1A^QIuxO
分析所列的10个组合,可以采用这样的递归思想来考虑求组合函数的算法。设函数为void comb(int m,int k)为找出从自然数1、2、……、m中任取k个数的所有组合。当组合的第一个数字选定时,其后的数字是从余下的m-1个数中取k-1数的组合。这就将求m个数中取k个数的组合问题转化成求m-1个数中取k-1个数的组合问题。设函数引入工作数组a[ ]存放求出的组合的数字,约定函数将确定的k个数字组合的第一个数字放在a[k]中,当一个组合求出后,才将a[ ]中的一个组合输出。第一个数可以是m、m-1、……、k,函数将确定组合的第一个数字放入数组后,有两种可能的选择,因还未去顶组合的其余元素,继续递归去确定;或因已确定了组合的全部元素,输出这个组合。细节见以下程序中的函数comb。 2evM|Dj
【程序】 7W}~c/ %
# include <stdio.h> !K`;fp!
# define MAXN 100 )t)tk=R9N
int a[MAXN]; 7B7I'{d
void comb(int m,int k) azOp53zR
{ int i,j;
-pX/Tt6
for (i=m;i>=k;i--) ocL
{ a[k]=i; aY3kww`
if (k>1) EcwHO
comb(i-1,k-1); E*RP8
else `{tykYwCLc
{ for (j=a[0];j>0;j--) vuw1ycy)
printf(“%4d”,a[j]); TzX>d<x
printf(“\n”); :Z1_;`>CT
} U76:F?MH
} zxwpS
} O7rm(
'OF)`5sj
void main() V|b?H6Q
{ a[0]=3; {9C(\i +
comb(5,3); })&0e:6
} mP:mzmUw
【问题】 背包问题 bS0^AVA
问题描述:有不同价值、不同重量的物品n件,求从这n件物品中选取一部分物品的选择方案,使选中物品的总重量不超过指定的限制重量,但选中物品的价值之和最大。 /B}]{bcp$
设n件物品的重量分别为w0、w1、…、wn-1,物品的价值分别为v0、v1、…、vn-1。采用递归寻找物品的选择方案。设前面已有了多种选择的方案,并保留了其中总价值最大的方案于数组option[ ],该方案的总价值存于变量maxv。当前正在考察新方案,其物品选择情况保存于数组cop[ ]。假定当前方案已考虑了前i-1件物品,现在要考虑第i件物品;当前方案已包含的物品的重量之和为tw;至此,若其余物品都选择是可能的话,本方案能达到的总价值的期望值为tv。算法引入tv是当一旦当前方案的总价值的期望值也小于前面方案的总价值maxv时,继续考察当前方案变成无意义的工作,应终止当前方案,立即去考察下一个方案。因为当方案的总价值不比maxv大时,该方案不会被再考察,这同时保证函数后找到的方案一定会比前面的方案更好。 D0"+E*
对于第i件物品的选择考虑有两种可能: 4I,@aj46
(1) 考虑物品i被选择,这种可能性仅当包含它不会超过方案总重量限制时才是可行的。选中后,继续递归去考虑其余物品的选择。 Txp~&a03
(2) 考虑物品i不被选择,这种可能性仅当不包含物品i也有可能会找到价值更大的方案的情况。 %M'"%Yn@(y
按以上思想写出递归算法如下: 1u&P,&T
try(物品i,当前选择已达到的重量和,本方案可能达到的总价值tv) xES+m/?KlZ
{ /*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/ /md`tqI>i<
if(包含物品i是可以接受的) $dwv1@M2
{ 将物品i包含在当前方案中; ~r>WnI:vg
if (i<n-1) ?$r+#'asd(
try(i+1,tw+物品i的重量,tv); U?>zq!C&R
else *23
/*又一个完整方案,因为它比前面的方案好,以它作为最佳方案*/ j-A
S {w
以当前方案作为临时最佳方案保存; X)nOY*
恢复物品i不包含状态; %t<Y6*g
} 7Y#b7H
/*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/ br'~SXl
if (不包含物品i仅是可男考虑的) MfYe @;m
if (i<n-1) y`(z_5ClT
try(i+1,tw,tv-物品i的价值); 6j`
waK
else =8tduB
/*又一个完整方案,因它比前面的方案好,以它作为最佳方案*/ Ylo@
以当前方案作为临时最佳方案保存; kdWi!Hp
} }8r+&e
为了理解上述算法,特举以下实例。设有4件物品,它们的重量和价值见表: pw(`+x]
物品 0 1 2 3 FWD9!M K
重量 5 3 2 1 xRaYm
价值 4 4 3 1 ]B5\S
h\.UUC&<
并设限制重量为7。则按以上算法,下图表示找解过程。由图知,一旦找到一个解,算法就进一步找更好的佳。如能判定某个查找分支不会找到更好的解,算法不会在该分支继续查找,而是立即终止该分支,并去考察下一个分支。 2;kab^iv'
071wo7
按上述算法编写函数和程序如下: &/7GhZRt
【程序】 ly^F?.e-
# include <stdio.h> lezdJ
# define N 100 <BO|.(ys
double limitW,totV,maxV; LW2Sko?Yo
int option[N],cop[N]; 2b3*zB*@V
struct { double weight; u
|f h!-
double value; !XtbZ-
}a[N]; S++}kR);
int n; y:v0&9L
void find(int i,double tw,double tv) ~u3I=b
{ int k; <'gCI Ia2
/*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/ bAW;2
NB
if (tw+a.weight<=limitW) $jw!DrE
{ cop=1; !\"C<*5
if (i<n-1) find(i+1,tw+a.weight,tv); nbOMtK
else J 0s8vAs
{ for (k=0;k<n;k++) U+'?#"
J8(
option[k]=cop[k]; ^Yn6kF
maxv=tv; ^ qE4:|e
} ]cA){^.Jz
cop=0; |Yk23\!
} 52:oe1-8
/*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/ R)<>} y
if (tv-a.value>maxV) )W c#?K
if (i<n-1) find(i+1,tw,tv-a.value); ]Mtb~^joG
else v#nFPB=z
{ for (k=0;k<n;k++) uQ&xoDCB
option[k]=cop[k]; m=opY~&h
maxv=tv-a.value; 9g 2x+@5T^
} -`Z5#8P
} "b} ^xy
~(yh0V
void main() WQ6E8t)
{ int k; d;'@4NX5+
double w,v; (j cLzq
printf(“输入物品种数\n”); HPU7
` b4
scanf((“%d”,&n); ) d\Se9!
printf(“输入各物品的重量和价值\n”); BD9` +9
for (totv=0.0,k=0;k<n;k++) .$?s :t
{ scanf(“%1f%1f”,&w,&v); 5M*ZZ+YX
a[k].weight=w; /'">H-r
a[k].value=v; Gz6FwU8L
totV+=V; M/B_-8B_D
} I5 [r-r
printf(“输入限制重量\n”); wd1*wt
scanf(“%1f”,&limitV); <H#D/?n5
maxv=0.0; .
vYGJ8(P
for (k=0;k<n;k++) cop[k]=0; d)dIIzv
find(0,0.0,totV); 5bMVDw/
for (k=0;k<n;k++) 4jar5Mz
if (option[k]) printf(“%4d”,k+1); i?mDR$X:
printf(“\n总价值为%.2f\n”,maxv); b7"pm)6
} {;z3$/JB
作为对比,下面以同样的解题思想,考虑非递归的程序解。为了提高找解速度,程序不是简单地逐一生成所有候选解,而是从每个物品对候选解的影响来形成值得进一步考虑的候选解,一个候选解是通过依次考察每个物品形成的。对物品i的考察有这样几种情况:当该物品被包含在候选解中依旧满足解的总重量的限制,该物品被包含在候选解中是应该继续考虑的;反之,该物品不应该包括在当前正在形成的候选解中。同样地,仅当物品不被包括在候选解中,还是有可能找到比目前临时最佳解更好的候选解时,才去考虑该物品不被包括在候选解中;反之,该物品不包括在当前候选解中的方案也不应继续考虑。对于任一值得继续考虑的方案,程序就去进一步考虑下一个物品。 ko ~iDT
【程序】 :*4yR46
# include <stdio.h> )Oa"B;\j
# define N 100 DhB:8/J
double limitW; ^t#]E#
int cop[N]; lOZ.{0{f,
struct ele { double weight; q9!5J2P
double value; #H5*]"w6I
} a[N]; Pyk~V)~M
int k,n; dJCu`34Y'|
struct { int flg; ^=W%G^jJy
double tw; Z.,Pl
double tv; e6{/e+/R
}twv[N]; MR8-xO'w
void next(int i,double tw,double tv) n>! E ]
{ twv.flg=1; oYOf<J
twv.tw=tw; \Lh,dZ}d
twv.tv=tv; 1!=$3]l0Lj
} ]>:%:-d6
double find(struct ele *a,int n) a}e7Q<cGj
{ int i,k,f; 7b
Gzun&
double maxv,tw,tv,totv; 0MPsF{Xw[
maxv=0; )vy<q/o+
for (totv=0.0,k=0;k<n;k++) `&0?e-
totv+=a[k].value; QmgwIz_
next(0,0.0,totv); !.p!
i=0; IK}T.*[
While (i>=0) p>R F4
{ f=twv.flg; )vPce
tw=twv.tw; R?X9U.AcW
tv=twv.tv; 8l)l9;4 6
switch(f) d8Upr1_
{ case 1: twv.flg++; }H^# }
if (tw+a.weight<=limitW) t7-sCC0
if (i<n-1) Sw(%j1uL
{ next(i+1,tw+a.weight,tv); *~fN^{B'!
i++; yv'mV=BMJ!
} v[lytX4)
else `cZG&R
{ maxv=tv; tkJ/h<
for (k=0;k<n;k++) h8S%Q|-
cop[k]=twv[k].flg!=0; VgoQz]z
} P,wFib^1
break; 9:BGA/?
case 0: i--; -=g`7^qa>
break; +>I4@1qC-|
default: twv.flg=0; s/A]&!`
if (tv-a.value>maxv) 3bPVKsY
if (i<n-1) ~\ iuV
{ next(i+1,tw,tv-a.value); ',O@0L]L
i++; e348^S&rG
} 40@KL$B=
else kXG+zsT
{ maxv=tv-a.value; KY_qK)H
for (k=0;k<n;k++) Xe+Hez,
cop[k]=twv[k].flg!=0; kfmIhHlYQ
} Jg%sl&65
break; 8zpK;+
} gW*ee
} U&B~GJT+
return maxv; J(l6(+8
} xds"n5
s)To#
void main() 0+S:2i/G
{ double maxv; 4CN8>J'-
printf(“输入物品种数\n”); |-e=P9,
scanf((“%d”,&n); IA+>dr
printf(“输入限制重量\n”); ? th+~dE
scanf(“%1f”,&limitW); V<d'psb6
printf(“输入各物品的重量和价值\n”); ob*2V!"
for (k=0;k<n;k++) |E?%Cj^W
scanf(“%1f%1f”,&a[k].weight,&a[k].value); 525xm"Bs
maxv=find(a,n); -<<!eH
printf(“\n选中的物品为\n”); Z:n33xh=<
for (k=0;k<n;k++) j5ui
if (option[k]) printf(“%4d”,k+1); 3^`bf=R
printf(“\n总价值为%.2f\n”,maxv); Pb~S{):
}