四、递归 ZS@R ?
vkW;qt}yO
递归是设计和描述算法的一种有力的工具,由于它在复杂算法的描述中被经常采用,为此在进一步介绍其他算法设计方法之前先讨论它。 c:s[vghH^#
能采用递归描述的算法通常有这样的特征:为求解规模为N的问题,设法将它分解成规模较小的问题,然后从这些小问题的解方便地构造出大问题的解,并且这些规模较小的问题也能采用同样的分解和综合方法,分解成规模更小的问题,并从这些更小问题的解构造出规模较大问题的解。特别地,当规模N=1时,能直接得解。 6\%#=GG
【问题】 编写计算斐波那契(Fibonacci)数列的第n项函数fib(n)。 @[n%q.|VB
斐波那契数列为:0、1、1、2、3、……,即: q~X}&}UT
fib(0)=0; QqcAmp
fib(1)=1; M?kXzb\O
fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) (当n>1时)。 5RY rAzQo
写成递归函数有: 1 -R4A7+3
int fib(int n) akwS;|SZ
{ if (n==0) return 0; h(^[WSa
if (n==1) return 1; maV*+!\
if (n>1) return fib(n-1)+fib(n-2); a`Q-5*\;z
} SL_JA
递归算法的执行过程分递推和回归两个阶段。在递推阶段,把较复杂的问题(规模为n)的求解推到比原问题简单一些的问题(规模小于n)的求解。例如上例中,求解fib(n),把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是说,为计算fib(n),必须先计算fib(n-1)和fib(n-2),而计算fib(n-1)和fib(n-2),又必须先计算fib(n-3)和fib(n-4)。依次类推,直至计算fib(1)和fib(0),分别能立即得到结果1和0。在递推阶段,必须要有终止递归的情况。例如在函数fib中,当n为1和0的情况。 Ppx 4#j
在回归阶段,当获得最简单情况的解后,逐级返回,依次得到稍复杂问题的解,例如得到fib(1)和fib(0)后,返回得到fib(2)的结果,……,在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的结果后,返回得到fib(n)的结果。 jtqU`|FSQ
在编写递归函数时要注意,函数中的局部变量和参数知识局限于当前调用层,当递推进入“简单问题”层时,原来层次上的参数和局部变量便被隐蔽起来。在一系列“简单问题”层,它们各有自己的参数和局部变量。 1J&hm[3[K
由于递归引起一系列的函数调用,并且可能会有一系列的重复计算,递归算法的执行效率相对较低。当某个递归算法能较方便地转换成递推算法时,通常按递推算法编写程序。例如上例计算斐波那契数列的第n项的函数fib(n)应采用递推算法,即从斐波那契数列的前两项出发,逐次由前两项计算出下一项,直至计算出要求的第n项。 ~c\2'
【问题】 组合问题 ;@n/gU
问题描述:找出从自然数1、2、……、n中任取r个数的所有组合。例如n=5,r=3的所有组合为: (1)5、4、3 (2)5、4、2 (3)5、4、1 n.o_._mu2
(4)5、3、2 (5)5、3、1 (6)5、2、1 9$%S<v
(7)4、3、2 (8)4、3、1 (9)4、2、1 Ju.T.)H
(10)3、2、1 P_gai7Xg
分析所列的10个组合,可以采用这样的递归思想来考虑求组合函数的算法。设函数为void comb(int m,int k)为找出从自然数1、2、……、m中任取k个数的所有组合。当组合的第一个数字选定时,其后的数字是从余下的m-1个数中取k-1数的组合。这就将求m个数中取k个数的组合问题转化成求m-1个数中取k-1个数的组合问题。设函数引入工作数组a[ ]存放求出的组合的数字,约定函数将确定的k个数字组合的第一个数字放在a[k]中,当一个组合求出后,才将a[ ]中的一个组合输出。第一个数可以是m、m-1、……、k,函数将确定组合的第一个数字放入数组后,有两种可能的选择,因还未去顶组合的其余元素,继续递归去确定;或因已确定了组合的全部元素,输出这个组合。细节见以下程序中的函数comb。 5o0H7k]
【程序】 18y'#<X!
# include <stdio.h> ~Q=^YZgn8
# define MAXN 100 :K!L-*>A9
int a[MAXN]; (&/~q:a>
void comb(int m,int k) j3>&Su>H4
{ int i,j; 8Z
0@-8vi
for (i=m;i>=k;i--) )1O|+m k
{ a[k]=i; 8{Vt8>4
if (k>1) 9v7}[`^
comb(i-1,k-1); =CaSd|
else B;Co`o2
{ for (j=a[0];j>0;j--) AQc9@3T~Bi
printf(“%4d”,a[j]); :r&4/sN}<
printf(“\n”); V<d`.9*}
} NF7+Gp6?q
} |;YDRI
} +V#dJ[,8;.
d2g7,axi
void main() '/Xm%S
{ a[0]=3; gNh4c{Al9
comb(5,3); yQC8 Gt8
} jW}hLjlN
【问题】 背包问题 CR-2>,*a9
问题描述:有不同价值、不同重量的物品n件,求从这n件物品中选取一部分物品的选择方案,使选中物品的总重量不超过指定的限制重量,但选中物品的价值之和最大。 F5\{`
设n件物品的重量分别为w0、w1、…、wn-1,物品的价值分别为v0、v1、…、vn-1。采用递归寻找物品的选择方案。设前面已有了多种选择的方案,并保留了其中总价值最大的方案于数组option[ ],该方案的总价值存于变量maxv。当前正在考察新方案,其物品选择情况保存于数组cop[ ]。假定当前方案已考虑了前i-1件物品,现在要考虑第i件物品;当前方案已包含的物品的重量之和为tw;至此,若其余物品都选择是可能的话,本方案能达到的总价值的期望值为tv。算法引入tv是当一旦当前方案的总价值的期望值也小于前面方案的总价值maxv时,继续考察当前方案变成无意义的工作,应终止当前方案,立即去考察下一个方案。因为当方案的总价值不比maxv大时,该方案不会被再考察,这同时保证函数后找到的方案一定会比前面的方案更好。 ^YEMR C
对于第i件物品的选择考虑有两种可能: GEki34
n0
(1) 考虑物品i被选择,这种可能性仅当包含它不会超过方案总重量限制时才是可行的。选中后,继续递归去考虑其余物品的选择。 =z}M(<G
(2) 考虑物品i不被选择,这种可能性仅当不包含物品i也有可能会找到价值更大的方案的情况。 T`Xz*\}Zb
按以上思想写出递归算法如下: >~T2MlRux
try(物品i,当前选择已达到的重量和,本方案可能达到的总价值tv) MnptC 1N
{ /*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/ yeV|j\TJI.
if(包含物品i是可以接受的) ?jnbm'~S
{ 将物品i包含在当前方案中; \K:?#07Wj4
if (i<n-1) "}uV=y
try(i+1,tw+物品i的重量,tv); KoFWI_(b
else ; VQ:\fG
/*又一个完整方案,因为它比前面的方案好,以它作为最佳方案*/ @EH@_EwYV
以当前方案作为临时最佳方案保存; 85+w\KuEY
恢复物品i不包含状态; ,6wGd aMR
} vGp`P
/*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/ PxJvE*6^H
if (不包含物品i仅是可男考虑的) .y#>mXm>
if (i<n-1) SFRYX,0m
try(i+1,tw,tv-物品i的价值); kX:8sbZ##4
else ,go$6
/*又一个完整方案,因它比前面的方案好,以它作为最佳方案*/ VQpwHzh
以当前方案作为临时最佳方案保存; ;GZ'Rb
} @DyMq3Gt?&
为了理解上述算法,特举以下实例。设有4件物品,它们的重量和价值见表: g<i>252>
物品 0 1 2 3 [ _&z+
重量 5 3 2 1 2c5)pIVEy
价值 4 4 3 1 8ZDWaq8^2N
!:1BuiL
并设限制重量为7。则按以上算法,下图表示找解过程。由图知,一旦找到一个解,算法就进一步找更好的佳。如能判定某个查找分支不会找到更好的解,算法不会在该分支继续查找,而是立即终止该分支,并去考察下一个分支。 L#/<y{
kyUG+M
按上述算法编写函数和程序如下: 7nbaR~ZV
【程序】
e:6mz\J
# include <stdio.h> lq)[
# define N 100 cUU"*bA#
double limitW,totV,maxV; 7i9wfc h$U
int option[N],cop[N]; \}7xgQ>oV
struct { double weight; >+*lG>!z
double value; GUsJF;;V
}a[N]; .+-7 'ux
int n; Qy) -gax:,
void find(int i,double tw,double tv) wPpern05
{ int k; 05;J7T<
/*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/ OF`:);
if (tw+a.weight<=limitW) aOW$H:b
{ cop=1; 5K$d4KT
if (i<n-1) find(i+1,tw+a.weight,tv); sH Hu<[psM
else vNAQ/Q
{ for (k=0;k<n;k++) |TuFx=~5v
option[k]=cop[k]; {uiL91j.
maxv=tv; v79\(BX
} V"|j Dnn5
cop=0; v$R7"
} mB*;>
/*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/ f_> lz
if (tv-a.value>maxV) ^+9i~PjL
if (i<n-1) find(i+1,tw,tv-a.value); 8' +I8J0l
else C0'_bTfB
{ for (k=0;k<n;k++) D;X/7 p|>
option[k]=cop[k]; \xOv 9(
maxv=tv-a.value;
4-q8:5
} R,W
w/D
} 1zY"Uxp
q]m$%>
void main() Iyt.`z
{ int k; !Bb^M3iA
double w,v; ngH_p>
printf(“输入物品种数\n”); 2Xp?O+b#"O
scanf((“%d”,&n); Yfx'7gj
printf(“输入各物品的重量和价值\n”); ~
6Hi"w
for (totv=0.0,k=0;k<n;k++) ]Hrw$\Ky
{ scanf(“%1f%1f”,&w,&v); ?uqPye1fc
a[k].weight=w; w0fFm"A|W
a[k].value=v; o,=dm@j
totV+=V; ')j@OO3
} 5=P*<Dnj
printf(“输入限制重量\n”); (rjv3=9\3
scanf(“%1f”,&limitV); /1LQx>1d
maxv=0.0; UQ+!P<>w
for (k=0;k<n;k++) cop[k]=0; g}*F"k4j
find(0,0.0,totV); 7.C~ OrGR
for (k=0;k<n;k++) (/Dr=D{ `
if (option[k]) printf(“%4d”,k+1); KoTQc0b!
printf(“\n总价值为%.2f\n”,maxv); hSSFmEpr
} -Sj|Y}
作为对比,下面以同样的解题思想,考虑非递归的程序解。为了提高找解速度,程序不是简单地逐一生成所有候选解,而是从每个物品对候选解的影响来形成值得进一步考虑的候选解,一个候选解是通过依次考察每个物品形成的。对物品i的考察有这样几种情况:当该物品被包含在候选解中依旧满足解的总重量的限制,该物品被包含在候选解中是应该继续考虑的;反之,该物品不应该包括在当前正在形成的候选解中。同样地,仅当物品不被包括在候选解中,还是有可能找到比目前临时最佳解更好的候选解时,才去考虑该物品不被包括在候选解中;反之,该物品不包括在当前候选解中的方案也不应继续考虑。对于任一值得继续考虑的方案,程序就去进一步考虑下一个物品。 x=VLRh%Gvl
【程序】 %weG}gCM
# include <stdio.h> q! }O+(kt
# define N 100 Y
f;Slps
double limitW; l\~F0Z/O
int cop[N]; EB[B0e7}
struct ele { double weight; lag%}^
double value; zgA/B{DaC;
} a[N]; EnXTL]=0S
int k,n; X##hSGQM
struct { int flg; *W=R:Bl!
double tw; C2W&*W*
double tv; 3X}>_tj
}twv[N]; VeWvSIP,EQ
void next(int i,double tw,double tv) w:o,mzuXK
{ twv.flg=1; nL&[R}@W
twv.tw=tw; wm_o(Z}
twv.tv=tv; Y`
tB5P
} x8E!Ko](
double find(struct ele *a,int n) I?%iJ%
{ int i,k,f;
.'^Pg
double maxv,tw,tv,totv; L:RMZp*bK
maxv=0; G,h=5y9_J
for (totv=0.0,k=0;k<n;k++) e'1}5Ky
totv+=a[k].value; Ra^GbT|Z
next(0,0.0,totv); nn6&`$(Q~
i=0; Cw&U*H
While (i>=0) Tjza3M
{ f=twv.flg; 8yn}|Y9Fu
tw=twv.tw; ^jZ4tH3K
tv=twv.tv; SpiI9)gp
switch(f) 3+2cD
{ case 1: twv.flg++; e2$k
%c~
if (tw+a.weight<=limitW) o-%DL*^5
if (i<n-1) FTC,{$
{ next(i+1,tw+a.weight,tv); G,JNUok
i++; x9VR>ux&
} AF-uTf
else xdd;!HK,
{ maxv=tv; XKepk? E
for (k=0;k<n;k++) P|4qbm4%O,
cop[k]=twv[k].flg!=0; WEFvJ0]
} V.Ki$0>
break; O%?d0K
case 0: i--; W4o$J4IX{
break; 0*}%v:uN9
default: twv.flg=0; k874t D
if (tv-a.value>maxv) x6={)tj
if (i<n-1) !`?*zf
{ next(i+1,tw,tv-a.value); 6l-V%3-
i++; *T{P^q.s~[
} .YcI .
else 86N"EuH$
{ maxv=tv-a.value; x7l3&;yDv
for (k=0;k<n;k++) yUzpl[*e^o
cop[k]=twv[k].flg!=0; 1lLL9l{UVw
} 0413K_
break; MC&sM-/
} ;OynkZs)
} *%wfR7G[B
return maxv; j=~c(
B
} 3G)Wmmh"a
XF 8$D
void main() Y>i?nC%*
{ double maxv; 0755;26Bx
printf(“输入物品种数\n”); WN%KATA
scanf((“%d”,&n); C|W\qXCqu
printf(“输入限制重量\n”); ^%pM$3ov
scanf(“%1f”,&limitW); &?mJL0fy
printf(“输入各物品的重量和价值\n”); L#^'9v}Hb
for (k=0;k<n;k++) L+o"<LV]
scanf(“%1f%1f”,&a[k].weight,&a[k].value); `$odxo+
maxv=find(a,n); G 0;5I_D/
printf(“\n选中的物品为\n”); dy%#E2f
for (k=0;k<n;k++) ypK1
sw
if (option[k]) printf(“%4d”,k+1); NWq>Z!x`
printf(“\n总价值为%.2f\n”,maxv); l3C%`[MB
}